Progressió geomètrica

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Progressió geomètrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2

En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres (anomenats termes) que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió.

Una successió geomètrica amb raó i primer terme és

Es sol denotar per al terme que ocupa la posició de la successió. Com que qualsevol terme es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó,

Exemples[modifica]

  • La successió 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... té raó i primer terme .
  • La successió 729, 486, 324, 216, 144, ... té raó i primer terme .
  • La successió 3, -3, 3, -3, ... té raó i primer terme .

Terme general[modifica]

Es pot calcular qualsevol terme de la successió a partir del primer terme i de la raó mitjançant la següent fòrmula anomenda terme general:

Suma de termes consecutius d'una progressió geomètrica[modifica]

La suma dels primers termes de la successió és

En el cas que , aleshores . Si , aleshores[1]

Per exemple, la suma dels 5 primers termes progressió alternada 2, 6, 18, ... (primer terme 2 i raó 3) és 242:

Suma de tots els termes d'una progressió geomètrica[modifica]

Si el valor absolut de la raó és menor que la unitat, , aleshores la suma dels infinits termes de la progressió convergeix a un nombre finit:[1]

Per exemple, la suma de tots el termes de la progressió 1, 1/5, 1/25, ... és 5/4:

Monotonia[modifica]

Una progressió geomètrica és monòtona creixent quan cada terme és major o igual que l'anterior (), monòtona decreixent quan cada terme és menor o igual que l'anterior (), constant quan tots els termes són iguals () i alternada quan cada terme té signe contrari que l'anterior (ocorre quan ).[2]

Monotonia en funció del primer terme i de la raó :[3]

creixent
decreixent
decreixent
creixent
constant
alternada


Vegeu també[modifica]

Referències[modifica]

  1. 1,0 1,1 W., Weisstein, Eric. «Geometric Series» (en anglès). [Consulta: 15 maig del 2020].
  2. Sapiña, R. «Problemes resolts de progressions geomètriques» (en castellà). Problemas y ecuaciones. ISSN: 2659-9899 [Consulta: 15 maig del 2020].
  3. Llopis, José L. «Successions o progressions geomètriques» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 15 maig del 2020].