Progressió geomètrica

Progressió geomètrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2

En matemàtiques una progressió geomètrica és una successió de nombres (anomenats termes) que compleix que el quocient entre qualsevol dos membres successius de la successió és una constant anomenada raó o factor de progressió de la successió.

Una successió geomètrica amb raó $r\neq 0$ i primer terme $a$ és

$a,\,ar,\,ar^{2},ar^{3},\dots$

Se sol denotar per $a_{n}$ al terme que ocupa la posició $n$ de la successió. Com que qualsevol terme es pot obtenir a partir de l'element anterior multiplicant-lo per la raó,

$a_{n+1}=a_{n}\cdot r$

Exemples

• La successió 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... té raó $r=2$ i primer terme $a_{1}=1$ .
• La successió 729, 486, 324, 216, 144, ... té raó $r=2/3$ i primer terme $a_{1}=729$ .
• La successió 3, -3, 3, -3, ... té raó $r=-1$ i primer terme $a_{1}=3$ .

Terme general

Es pot calcular qualsevol terme de la successió a partir del primer terme $a_{1}$ i de la raó $r$ mitjançant la següent fórmula anomenada terme general:

$a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1},\forall n\in \mathbb {N}$

Suma de termes consecutius d'una progressió geomètrica

La suma dels primers $n$ termes de la successió $a_{n}$ és

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$

En el cas que $r=1$, aleshores $S_{n}=a_{1}\cdot n$. Si $r\neq 1$, aleshores

$S_{n}=a_{1}\cdot {\frac {r^{n}-1}{r-1}}$

La suma és $S_{n}=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}$ Multipliquem ambdós costats per $1-r$ i desenvolupem l'expressió de la dreta: $(1-r)S_{n}=(1-r)(a_{1}+\cdots +a_{n})=(a_{1}+\cdots +a_{n})-(a_{1}r+\cdots +a_{n}r)=$ $=(a_{1}+\cdots +a_{n})-(a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n+1})=a_{1}-a_{n+1}.$ D'on, aïllant $S_{n}$, obtenim $S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n+1}}{1-r}}={\frac {a_{1}-a_{1}r^{n}}{1-r}}=a_{1}\cdot {\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

Per exemple, la suma dels 5 primers termes progressió alternada 2, 6, 18, ... (primer terme 2 i raó 3) és 242:

$S_{n}=2\cdot {\frac {3^{5}-1}{3-1}}=242$

Suma de tots els termes d'una progressió geomètrica

Si el valor absolut de la raó és menor que la unitat, $|r|<1$, aleshores la suma dels infinits termes de la progressió convergeix a un nombre finit:

$S_{\infty }={\frac {a_{1}}{1-r}}$

Per exemple, la suma de tots el termes de la progressió 1, 1/5, 1/25, ... és 5/4:

$S_{\infty }={\frac {1}{1-1/5}}={\frac {5}{4}}$

Monotonia

Una progressió geomètrica és monòtona creixent quan cada terme és major o igual que l'anterior ($a_{n}\geq a_{n-1}$), monòtona decreixent quan cada terme és menor o igual que l'anterior ($a_{n}\leq a_{n-1}$), constant quan tots els termes són iguals ($a_{n}=a_{n-1}$) i alternada quan cada terme té signe contrari que l'anterior (ocorre quan $r<0$).

Monotonia en funció del primer terme $a_{1}$ i de la raó $r$:

$a_{1}>0$	$r>1$	creixent
	$0<r<1$	decreixent
$a_{1}<0$	$r>1$	decreixent
	$0<r<1$	creixent
	$r=1$	constant
	$r<0$	alternada

Vegeu també

• Progressió aritmètica
• Sèrie geomètrica