Progressió aritmètica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, una progressió aritmètica és una successió matemàtica de nombres tals que la diferència de dos termes successius qualssevol de la seqüència és una constant, quantitat anomenada diferència de la progressió o simplement diferència. Per exemple, la successió 3, 5, 7, 9, 11,... és una progressió aritmètica de constant (o diferència comuna) 2.

Terme general d'una progressió aritmètica[modifica | modifica el codi]

El terme general d'una progressió aritmètica és l'expressió que ens dóna qualsevol dels seus termes (alguns coneguts) i la diferència de la progressió.

Si el terme inicial d'una progressió aritmètica és a i la diferència comuna és d, llavors el terme n-ésim de la successió ve donada per

  • a + n d,    n = 0, 1, 2, ... si el terme inicial es pren com el zero.
  • a + (n - 1)d    n = 1, 2, 3, ... si el terme inicial es pren com el 1r.

La primera opció oferix una fórmula més senzilla, però empra una terminologia més confusa, ja que no és comú en el llenguatge l'ús de "zero" com a ordinal.

Generalitzant, sigui la progressió aritmètica

a1, a2, a3, ...., am, ...., an de diferència d

tenim una successió:

a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d
...
an-1 = an-2 + d
an = an-1 + d

El terme enèsim de la seqüència és:

\ a_n = a_1 + (n - 1)d.

Suma (sèrie aritmètica)[modifica | modifica el codi]

La suma dels components d'una sèrie aritmètica s'anomena sèrie aritmètica. La fórmula per la suma dels primers n termes d'una progressió aritmètica és:

S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}.

Aquesta fórmula es dedueix del fet que la suma del primer i el darrer terme és la mateixa que la del segon i el penúltim, i així successivament.

Demostració:

 S_n=a_1+a_1+d+a_1+2d+\dots\dots+a_1+(n-2)d+a_1+(n-1)d  S_n=a_n-(n-1)d+a_n-(n-2)d+\dots\dots+a_n-2d+a_n-d+a_n

\ 2S_n=n(a_1+a_n)

 S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Wikibooks A Viquillibres hi ha llibres de contingut lliure i altres textos relatius a Progressió aritmètica