Quasigrup

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, un quasigrup és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna on la divisió sempre és possible. Un quasigrup és doncs, un magma amb divisiblitat.

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui E un conjunt dotat d'una operació o llei de composició a la que se sol anomenar "producte". L'estructura (E,*) és un quasigrup si:

  1. La llei de composició és interna: \forall (x,y)\in E^2, x * y \in E
  2. Propietat del quadrat llatí: \forall (a,b)\in E^2, \exist ! (x,y)\in E^2 | \ a * x = y * a=b

La propietat del quadrat llatí vol dir que les equacions a * x = b i y * a = b tenen solucion úniques, x i y, per a cada una d'elles, i per tant, si coneixem dos dels tres elements de l'equació sempre és possible trobar el tercer. Quan el quasigrup té un nombre finit d'elements això es tradueix en una taula de Cayley en quadrat llatí.

Donat que les solucions són úniques, podem escriure x = a \backslash b, i y=b/a, on "\" representa la divisió per l'esquerra (direm que a divideix a b per l'esquerra), i "/" és la divisió per la dreta (direm que a divideix a b per la dreta). És per aquest motiu que podem dir que en un quasigrup sempre és possible la divisió, tant per l'esquerra com per la dreta.

Aquesta propietat permet definir, de manera alternativa, un quasigrup en termes de tres operacions, (E, *, \backslash, /), de tal manera que es compleixi:

  1. y = x * (x \backslash y)
  2. y = x \backslash ( x * y)
  3. y = (y / x) * x
  4. y = (y * x) / x

o sigui, que la divisió per l'esquerra és la operació inversa del producte per l'esquerra, i la divisió per la dreta és la inversa del producte per la dreta.

Tipus de quasigrups[modifica | modifica el codi]

  • Les propietats de grup garanteixen que els grups finits presentin taules de Cayley en quadrat llatí, i que els grups infinits compleixen la propietat del quadrat llatí. En conseqüència, tot grup és un quasigrup. Noteu que a diferència del grup, en un quasigrup no té perquè haver-hi element neutre, cas en què no té sentit parlar d'element simètric d'un altre.
  • Un quasigrup que a més té element neutre rep el nom de bucle. Si un bucle és associatiu, aleshores és un grup.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

  • Magma, quasigrup sense divisiblitat.
  • Bucle, quasigrup amb element neutre.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francès). Paris: Hermann, 1970. 
  • Weisstein, Eric W. «Quasigroup» (en anglès). MathWorld. Wolfram Research, Inc.. [Consulta: 27 novembre 2013].
  • Albert, A. A.. Studies in Modern Algebra (en anglès). Washington, DC: Associació Americana de Matemàtiques, 1963.