Regla del quocient

A càlcul, la regla del quocient és un mètode per a calcular la derivada d'una funció que consisteix en el quocient d'altres dues per a les quals la derivada existeix.

Si la funció que es vol derivar, $f(x)$, es pot escriure com

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

i $h(x)$ ≠ $0$, llavors la regla diu que la derivada de $g(x)/h(x)$ és igual a:

${\frac {d}{dx}}f(x)=f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}.$

O de forma més precisa, per a tot $x$ que pertany a algun conjunt obert que conté el nombre $a$, amb $h(a)$ ≠ $0$; i, tal que $g'(a)$ i $h'(a)$ existeixen totes dues; llavors, $f'(a)$ també existeix:

$f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{[h(a)]^{2}}}.$

Exemples

La derivada de $(4x-2)/(x^{2}+1)$ és

${\frac {d}{dx}}{\frac {(4x-2)}{x^{2}+1}}$	$={\frac {(x^{2}+1)(4)-(4x-2)(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}$
	$={\frac {(4x^{2}+4)-(8x^{2}-4x)}{(x^{2}+1)^{2}}}$
	$={\frac {-4x^{2}+4x+4}{(x^{2}+1)^{2}}}$

A l'exemple de dalt, s'ha triat:

$g(x)=4x-2$

$h(x)=x^{2}+1$

De forma anàloga, la derivada de $\sin(x)/x^{2}$ (quan $x$ ≠ 0) és:

${\frac {\cos(x)x^{2}-\sin(x)2x}{x^{4}}}$

Per a més informació referent a les derivades de les funcions trigonomètriques vegeu: derivada.

Un altre exemple és:

$f(x)={\frac {2x^{2}}{x^{3}}}$

on $g(x)=2x^{2}$ i $h(x)=x^{3}$, i $g'(x)=4x$ i $h'(x)=3x^{2}$.

La derivada de $f(x)$ es determina tal com segueix:

$f'(x)\,$	$={\frac {\left(4x\cdot x^{3}\right)-\left(2x^{2}\cdot 3x^{2}\right)}{\left(x^{3}\right)^{2}}}$
	$={\frac {4x^{4}-6x^{4}}{x^{6}}}$
	$={\frac {-2x^{4}}{x^{6}}}$
	$=-{\frac {2}{x^{2}}}$

Demostracions

A partir de la definició de derivada

Suposant que $f(x)=g(x)/h(x)$

on $h(x)$≠ 0 i $g$ i $h$ són derivables.

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)}{h(x+\Delta x)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{\Delta x}}$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{\Delta x}}\left({\frac {h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)}}\right)$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}h(x)-g(x){\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}}{h(x)h(x+\Delta x)}}$

$={\frac {\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\right)h(x)-g(x)\lim _{\Delta x\to 0}\left({\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\right)}{h(x)h(\lim _{\Delta x\to 0}(x+\Delta x))}}$

$={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}$

A partir de la regla del producte

Suposant que $f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}$

$g(x)=f(x)h(x){\mbox{ }}\,$

$g'(x)=f'(x)h(x)+f(x)h'(x){\mbox{ }}\,$

La resta consisteix en aplicar les regles de l'àlgebra per a fer que $f'(x)$ sigui l'únic terme del cantó esquerre de l'equació i per a eliminar $f(x)$ del cantó dret de l'equació.

$f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}\cdot h'(x)}{h(x)}}$

$f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{\left(h(x)\right)^{2}}}$

De forma alternativa, es pot aplicar la regla del producte directament, sense haver de fer ús de la substitució:

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}=g(x)[h(x)]^{-1}$

I tot seguit aplicar la regla de la cadena per a derivar $h(x)^{-1}$:

$f'(x)=g'(x)[h(x)]^{-1}+g(x)(-1)[h(x)]^{-2}h'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}$

A partir de la regla de la cadena

Es considera la identitat

${\frac {u}{v}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]$

Llavors

${\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {d}{dx}}{\frac {1}{4}}\left[\left(u+{\frac {1}{v}}\right)^{2}-\;\left(u-{\frac {1}{v}}\right)^{2}\right]$

Porta a

${\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[2\left(u+{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)-\;2\left(u-{\frac {1}{v}}\right)\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{v^{2}dx}}\right)\right]$

Operant s'obté

${\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {1}{4}}\left[{\frac {4}{v}}{\frac {du}{dx}}-{\frac {4u}{v^{2}}}{\frac {dv}{dx}}\right]$

Per acabar, es treu comú denominador i en queda el resultat esperat

${\frac {d\left({\frac {u}{v}}\right)}{dx}}\;=\;{\frac {\left[v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}\right]}{v^{2}}}$

Emprant diferencials totals

Una demostració fins i tot més elegant és conseqüència de la llei referent als diferencials totals, que diu que el diferencial total,

$dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial z}}dz+...$

De qualsevol funció a qualsevol conjunt de quantitats es pot descompondre de la següent forma, sense importat quines variables independents hi hagi a la funció (és a dir no importa quines variables es prenguin, ja que no poden expressar-se com a funcions d'altres variables). Això vol dir que, si N i D són totes dues funcions d'una variable independent x, i $F=N(x)/D(x)$, llavors han de ser veritat simultàniament que

(*) $dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx$

I que

$dF={\frac {\partial F}{\partial N}}dN+{\frac {\partial F}{\partial D}}dD$.

Però sabent que $dN=N'(x)dx$ i $dD=D'(x)dx$.

Substituint i fent aquests dos diferencials totals iguals a un tercer (donat que representen límits que es poden manipular), s'obté l'equació

${\frac {\partial F}{\partial x}}dx={\frac {\partial F}{\partial N}}N'(x)dx+{\frac {\partial F}{\partial D}}D'(x)dx$

La qual requereix que

(#) ${\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {\partial F}{\partial N}}N'(x)+{\frac {\partial F}{\partial D}}D'(x)$.

Calculant les parcials de la dreta:

${\frac {\partial F}{\partial N}}={\frac {\partial (N/D)}{\partial N}}={\frac {1}{D}}$;

${\frac {\partial F}{\partial D}}={\frac {\partial (N/D)}{\partial D}}=-{\frac {N}{D^{2}}}$.

Si se substitueixen dins de (#),

${\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {N'(x)}{D(x)}}-{\frac {N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}}$

${\frac {\partial F}{\partial x}}={\frac {D(x)N'(x)}{D(x)^{2}}}-{\frac {N(x)D'(x)}{D(x)^{2}}}$

La qual dona la regla del quocient, donat que, per a (*),

${\frac {dF}{dx}}={\frac {\partial F}{\partial x}}$.

Aquesta demostració és forma més sistemàtica de demostrar el teorema en termes de límits, i per tant, és equivalent a la primera demostració – i fins i tot es redueix a ella si es fan les substitucions adequades als llocs adequats.

Vegeu també

• Regla del producte
• Regla de la cadena