Regla del quocient

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

A càlcul, la regla del quocient és un mètode per a calcular la derivada d'una funció que consisteix en el quocient d'altres dues per a les quals la derivada existeix.

Si la funció que es vol derivar, , es pot escriure com

i , llavors la regla diu que la derivada de és igual a:

O de forma més precisa, per a tot que pertany a algun conjunt obert que conté el nombre , amb ; i, tal que i existeixen totes dues; llavors, també existeix:

Exemples[modifica | modifica el codi]

La derivada de és

A l'exemple de dalt, s'ha triat:

De forma anàloga, la derivada de (quan ≠ 0) és:

Per a més informació referent a les derivades de les funcions trigonomètriques vegeu: derivada.

Un altre exemple és:

on i , i i .

La derivada de es determina tal com segueix:

Demostracions[modifica | modifica el codi]

A partir de la definició de derivada[modifica | modifica el codi]

Suposant que
on ≠ 0 i i són derivables.

A partir de la regla del producte[modifica | modifica el codi]

Suposant que

La resta consisteix en aplicar les regles de l'àlgebra per a fer que sigui l'únic terme del cantó esquerre de l'equació i per a eliminar del cantó dret de l'equació.

De forma alternativa, es pot aplicar la regla del producte directament, sense haver de fer ús de la substitució:

I tot seguit aplicar la regla de la cadena per a derivar :

A partir de la regla de la cadena[modifica | modifica el codi]

Es considera la identitat

Llavors

Porta a

Operant s'obté

Per acabar, es treu comú denominador i en queda el resultat esperat

Emprant diferencials totals[modifica | modifica el codi]

Una demostració fins i tot més elegant és conseqüència de la llei referent als diferencials totals, que diu que el diferencial total,

De qualsevol funció a qualsevol conjunt de quantitats es pot descompondre de la següent forma, sense importat quines variables independents hi hagi a la funció (és a dir no importa quines variables es prenguin, ja que no poden expressar-se com a funcions d'altres variables). Això vol dir que, si N i D són totes dues funcions de una variable independent x, i , llavors han de ser veritat simultàniament que

(*)

I que

.

Però sabent que i .

Substituint i fent aquests dos diferencials totals iguals a un tercer (donat que representen límits que es poden manipular), s'obté l'equació

La qual requereix que

(#) .

Calculant les parcials de la dreta:

;
.

Si se substitueixen dins de (#),

La qual dona la regla del quocient, donat que, per a (*),

.

Aquesta demostració és forma més sistemàtica de demostrar el teorema en termes de límits, i per tant, és equivalent a la primera demostració – i fins i tot es redueix a ella si es fan les substitucions adequades als llocs adequats.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]