Resistivitat

Resistivitat

Símbol	ρ
Unitats	ohm metre (en) i kilogram cubic metre per cubic second square ampere (en)
Fórmula	$\rho ={\frac {1}{\sigma }}$

La resistivitat d'un material representa la seva capacitat a oposar-se a la circulació del corrent elèctric. Es correspon amb la resistència elèctrica d'un tros de material d'un metre de longitud i d'un metre quadrat de secció, s'expressa en ohms per metre (Ω·m, ohmmetre). La resistivitat permet classificar els materials en conductors, semiconductors i aïllants (a més resistivitat més bon aïllant, o més mal conductor). No hi ha cap aïllador perfecte (ρ=infinit) ni cap conductor perfecte (ρ=0).

La resistivitat dels materials depèn de la temperatura:

• Per als metalls, a temperatura ambient, creix linealment amb la temperatura. Aquest efecte s'utilitza per mesurar la temperatura (sonda Pt 100).
• Per als semiconductors, decreix fortament amb la temperatura, la resistivitat també pot dependre de la quantitat de radiació (llum visible, infraroig, etc.), absorbida pel component.

A pocs kèlvins de temperatura la resistivitat d'alguns materials es fa nul·la, és el fenomen conegut amb el nom de superconductivitat.

Definicions

La resistivitat es representa habitualment amb la lletra grega rho (ρ), i habitualment es defineix així:

R $={{\rho }l \over A}$

on

ρ és la resistivitat estàtica (mesurada en ohmmetres - Ωm)

R és la resistència elèctrica d'una mostra uniforme del material (mesurada en ohms - Ω)

l és la longitud de la mostra (mesurada en metres - m)

A és l'àrea de la secció de la mostra (mesurada en metres quadrats - m²)

Com la resistivitat depèn de la temperatura, s'interpola el valor amb el valor tabulat per a una temperatura de 20 °C i un coeficient lineal de variació amb la temperatura:

$\rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]$

La resistivitat elèctrica també pot ser definida com:

$\rho ={E \over J}$

on

E és la magnitud del camp elèctric (mesurada en volts per metre - V/m)

J és la magnitud de la densitat del corrent (mesurada en ampers per metre quadrat A/m²)

Finalment, la resistivitat elèctrica es correspon amb el valor invers de la conductivitat elèctrica de material (que es representa per la lletra grega sigma, σ), és a dir:

$\rho ={1 \over \sigma }$.

Quantitats escalars generals

Per a casos menys ideals, com a geometries més complicades, o quan el corrent i el camp elèctric varien en diferents parts del material, és necessari utilitzar una expressió més general en la qual la resistivitat en un punt concret es defineix com la relació entre el camp elèctric i la densitat del corrent que cregui en aquest punt:

$$\rho ={\frac {E}{J}},$$

on

• $\rho$ és la resistivitat del material conductor,
• $E$ és la magnitud del camp elèctric,
• $J$ és la magnitud de la densitat de corrent,

en el qual $E$ i $J$ estan dins del conductor.

La conductivitat és la inversa (recíproca) de la resistivitat. En aquest cas, ve donada per:

$$\sigma ={\frac {1}{\rho }}={\frac {J}{E}}.$$

Per exemple, el cautxú és un material amb gran ρ i petit σ - perquè fins i tot un camp elèctric molt gran en el cautxú fa que gairebé no flueixi corrent a través d'ell. D'altra banda, el coure és un material amb ρ petit i σ gran - perquè fins i tot un camp elèctric petit fa que passi molt de corrent a través d'ell.

Com es mostra a continuació, aquesta expressió se simplifica a un sol número quan el camp elèctric i la densitat de corrent són constants en el material.

Resistivitat tensorial

Quan la resistivitat d'un material té una component direccional, ha d'utilitzar-se la definició més general de resistivitat. Part de la forma tensor-vectorial de la llei d'Ohm, que relaciona el camp elèctric a l'interior d'un material amb el flux de corrent elèctric. Aquesta equació és completament general, cosa que significa que és vàlida en tots els casos, inclosos els esmentats anteriorment. No obstant això, aquesta definició és la més complicada, per la qual cosa només s'utilitza directament en casos anisòtrops, en els quals no es poden aplicar les definicions més senzilles. Si el material no és anisòtrop, és segur ignorar la definició tensor-vectorial, i usar una expressió més simple en el seu lloc.

En aquest cas, anisòtrop significa que el material té propietats diferents en diferents direccions. Per exemple, un cristall de grafit consisteix microscòpicament en una pila de làmines, i el corrent flueix molt fàcilment a través de cada làmina, però molt menys fàcilment d'una làmina a l'adjacent. En tals casos, el corrent no flueix exactament en la mateixa direcció que el camp elèctric. Per tant, les equacions apropiades es generalitzen a la forma tensorial tridimensional:.

$$\mathbf {J} ={\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {E} \,\,\rightleftharpoons \,\,\mathbf {E} ={\boldsymbol {\rho }}\mathbf {J} ,$$

on la conductivitat σ i la resistivitat ρ són tensors de rang 2, i el camp elèctric E i la densitat de corrent J són vectors. Aquests tensors poden ser representats per matrius 3×3, els vectors amb matrius 3×1, amb multiplicació matricial utilitzada en el costat dret d'aquestes equacions. En forma matricial, la relació de resistivitat ve donada per:

$${\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{xx}&\rho _{xy}&\rho _{xz}\\\rho _{yx}&\rho _{yy}&\rho _{yz}\\\rho _{zx}&\rho _{zy}&\rho _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{bmatrix}},$$

on

• $\mathbf {E}$ és el vector de camp elèctric, amb components (E_x, E_y, E_z);
• ${\boldsymbol {\rho }}$ és el tensor de resistivitat, en general una matriu de tres per tres;
• $\mathbf {J}$ és el vector de densitat de corrent elèctric, amb components (J_x, J_y, J_z).

Equivalentment, la resistivitat pot donar-se en la més compacta notació d'Einstein:

$$\mathbf {I} _{i}={\boldsymbol {\rho }}_{ij}\mathbf {J} _{j}~.$$

En qualsevol cas, l'expressió resultant per a cada component del camp elèctric és:

$${\begin{aligned}E_{x}&=\rho _{xx}J_{x}+\rho _{xy}J_{i}+\rho _{xz}J_{z},\\E_{i}&=\rho _{yx}J_{x}+\rho _{yy}J_{i}+\rho _{yz}J_{z},\\E_{z}&=\rho _{zx}J_{x}+\rho _{zy}J_{i}+\rho _{zz}J_{z}.\end{aligned}}$$

Atès que l'elecció del sistema de coordenades és lliure, la convenció habitual és simplificar l'expressió mitjançant l'elecció d'un x-eix paral·lel a la direcció actual, per la qual cosa J_y = J_z = 0. Això deixa:

$$\rho _{xx}={\frac {E_{x}}{J_{x}}},\quad \rho _{yx}={\frac {E_{i}}{J_{x}}},{\text{ and }}\rho _{zx}={\frac {E_{z}}{J_{x}}}.$$

La conductivitat es defineix de manera similar

$${\begin{bmatrix}J_{x}\\J_{y}\\J_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{bmatrix}}$$

o

$$\mathbf {J} _{i}={\boldsymbol {\sigma }}_{ij}\mathbf {E} _{j},$$

totes dues donen com a resultat el següent

$${\begin{aligned}J_{x}&=\sigma _{xx}E_{x}+\sigma _{xy}E_{y}+\sigma _{xz}E_{z}\\J_{y}&=\sigma _{yx}E_{x}+\sigma _{yy}E_{y}+\sigma _{yz}E_{z}\\J_{z}&=\sigma _{zx}E_{x}+\sigma _{zy}E_{y}+\sigma _{zz}E_{z}\end{aligned}}.$$

Observant les dues expressions, ${\boldsymbol {\rho }}$ i ${\boldsymbol {\sigma }}$ són la matriu inversa una de l'altra. No obstant això, en el cas més general, els elements individuals de la matriu no són necessàriament recíprocs entre si; per exemple, σ_xx pot no ser igual a 1/ρ_xx. Això pot veure's en l'efecte Hall, on $\rho _{xy}$ és distint de zero. En l'efecte Hall, a causa de la invariància rotacional al voltant de l'eix z, $\rho _{yy}=\rho _{xx}$ i $\rho _{yx}=-\rho _{xy}$, per la qual cosa la relació entre resistivitat i conductivitat se simplifica a:

$$\sigma _{xx}={\frac {\rho _{xx}}{\rho _{xx}^{2}+\rho _{xy}^{2}}},\quad \sigma _{xy}={\frac {-\rho _{xy}}{\rho _{xx}^{2}+\rho _{xy}^{2}}}.$$

Si el camp elèctric és paral·lel al corrent aplicat, $\rho _{xy}$ i $\rho _{xz}$ són zero. Quan són zero, un número, $\rho _{xx}$, és suficient per a descriure la resistivitat elèctrica. Llavors s'escriu simplement $\rho$, i això es redueix a l'expressió més simple.

Resistivitats comunes

Metalls

nom del metall	resistivitat (Ω·m)	coeficient de variació tèrmic (K−1)
Argent	15,9 . 10-9	0,0038
Coure	16,8 . 10-9	0,003862
Or	24,4 . 10-9	0,0034
Alumini	28,2 . 10-9	0,0039
Bronze	50 . 10-9
Platí	106 . 10-9	0,00392
Ferro	100 . 10-9	0,005
Estany	109 . 10-9	0,0045
Plom	220 . 10-9	0,0039

L'argent és clarament el millor conductor de l'electricitat.

Aïllants

nom del material	resistivitat (Ω·m)
aigua destil·lada	10⁹
vidre	1017
poliestirè	1020

Resistivitat elèctrica de metalls purs a temperatures entre 0 i 27 °C (10^-8 Ω⋅m):

H

He

Li 9,55

Be 3,76

B

C

N

O

F

Ne

Na 4,93

Mg 4,51

Al 2,733

Si

P

S

Cl

Ar

K 7,47

Ca 3,45

Sc 56,2

Ti 39

V 20,2

Cr 12,7

Mn 144

Fe 9,98

Co 5,6

Ni 7,2

Cu 1,725

Zn 6,06

Ga 13,6

Ge

As

Se

Br

Kr

Rb 13,3

Sr 13,5

Y 59,6

Zr 43,3

Nb 15,2

Mo 5,52

Tc 14,9

Ru 7,1

Rh 4,3

Pd 10,8

Ag 1,629

Cd 6,8

In 8

Sn 11,5

Sb 39

Te

I

Xe

Cs 21

Ba 34,3

*

Hf 34

Ta 13,5

W 5,44

Re 17,2

Os 8,1

Ir 4,7

Pt 10,8

Au 2,271

Hg 96,1

Tl 15

Pb 21,3

Bi 107

Po 40

At

Rn

Fr

Ra

**

Rf

Db

Sg

Bh

Hs

Mt

Ds

Rg

Cn

Nh

Fl

Mc

Lv

Ts

Og

*

La 4,7

Ce

Pr 70

Nd 64,3

Pm 75

Sm 94

Eu 90

Gd 131

Tb 115

Dy 92,6

Ho 81,4

Er 86

Tm 67,6

Yb 25

Lu 58,2

**

Ac

Th 14,7

Pa 17,7

U 28

Np

Pu

Am

Cm

Bk

Cf

Es

Fm

Md

No

Lr

La plata metàl·lica és el millor conductor de l'electricitat a temperatura ambient.

Causes de la conductivitat

Teoria de bandes simplificada

Segons la mecànica quàntica elemental, un electró en un àtom o cristall només pot tenir uns certs nivells d'energia precisos; les energies entre aquests nivells són impossibles. Quan un gran nombre d'aquests nivells permesos tenen valors energètics molt pròxims, és a dir, energies que només difereixen mínimament, la combinació d'aquests nivells energètics pròxims es denomina "banda energètica". Pot haver-hi moltes d'aquestes bandes d'energia en un material, depenent del nombre atòmic dels àtoms que el componen i de la seva distribució dins del cristall.

Els electrons del material tracten de minimitzar l'energia total en el material establint-se en estats de baixa energia; no obstant això, el principi d'exclusió de Pauli significa que només pot existir un en cadascun d'aquests estats. Així doncs, els electrons "omplen" l'estructura de bandes començant per baix. El nivell d'energia característic fins al qual s'han omplert els electrons es denomina nivell de Fermi. La posició del nivell de Fermi respecte a l'estructura de bandes és molt important per a la conducció elèctrica: Només els electrons en nivells d'energia pròxims o superiors al nivell de Fermi són lliures de moure's dins de l'estructura més àmplia del material, ja que els electrons poden saltar fàcilment entre els estats parcialment ocupats en aquesta regió. Per contra, els estats de baixa energia estan completament plens amb un límit fix en el nombre d'electrons en tot moment, i els estats d'alta energia estan buits d'electrons en tot moment.

El corrent elèctric consisteix en un flux d'electrons. En els metalls hi ha molts nivells d'energia d'electrons prop del nivell de Fermi, per la qual cosa hi ha molts electrons disponibles per a moure's. Això és el que causa l'alta conductivitat electrònica dels metalls.

Una part important de la teoria de bandes és que pot haver-hi bandes prohibides d'energia: intervals d'energia que no contenen nivells energètics. En els aïllants i semiconductors, el nombre d'electrons és el just per a omplir un cert nombre enter de bandes de baixa energia, exactament fins al límit. En aquest cas, el nivell de Fermi cau dins d'un buit de banda. Com no hi ha estats disponibles prop del nivell de Fermi i els electrons no es mouen lliurement, la conductivitat electrònica és molt baixa.

En metalls

Com a boles en un bressol de Newton, els electrons en un metall transfereixen energia ràpidament d'un terminal a un altre, malgrat el seu propi moviment insignificant

Un metall consisteix en una xarxa d'àtoms, cadascun amb una capa exterior d'electrons que es dissocien lliurement dels seus àtoms pares i viatgen a través de la xarxa. Això també es coneix com a xarxa iònica positiva. Aquesta "mar" d'electrons dissociables permet al metall conduir el corrent elèctric. Quan s'aplica una diferència de potencial elèctric (un voltatge) a través del metall, el camp elèctric resultant fa que els electrons derivin cap al terminal positiu. La velocitat de deriva real dels electrons sol ser petita, de l'ordre de metres per hora. No obstant això, a causa del gran nombre d'electrons en moviment, fins i tot una velocitat de deriva lenta dona lloc a una gran densitat de corrent. El mecanisme és similar a la transferència de moment de les boles en un bressol de Newton però la ràpida propagació d'una energia elèctrica al llarg d'un cable no es deu a les forces mecàniques, sinó a la propagació d'un camp electromagnètic portador d'energia guiat pel cable.

La majoria dels metalls tenen resistència elèctrica. En models més senzills (models no mecànic-quàntics) això pot explicar-se substituint els electrons i la xarxa cristal·lina per una estructura ondulatòria. Quan l'ona de l'electró viatja a través de la xarxa, les ones interfereixen, la qual cosa causa resistència. Com més regular és la xarxa, menys pertorbacions es produeixen i, per tant, menor és la resistència. La quantitat de resistència és causada principalment per dos factors. En primer lloc, és causada per la temperatura i, per tant, per la quantitat de vibració de la xarxa cristal·lina. Les temperatures més altes provoquen majors vibracions, que actuen com a irregularitats en la xarxa. En segon lloc, la puresa del metall és rellevant, ja que una mescla de diferents ions també és una irregularitat. La petita disminució de la conductivitat en fondre metalls purs es deu a la pèrdua d'ordre cristal·lí de llarg abast. L'ordre de curt abast es manté i la forta correlació entre les posicions dels ions dona lloc a la coherència entre les ones difractades per ions adjacents.

En semiconductors i aïllants

Article principal: Semiconductor

En els metalls, el nivell de Fermi es troba en la banda de conducció (vegeu Teoria de bandes, més amunt) donant lloc a electrons lliures de conducció. No obstant això, en els semiconductors la posició del nivell de Fermi es troba dins del buit de banda, aproximadament a mig camí entre el mínim de la banda de conducció (la part inferior de la primera banda de nivells d'energia d'electrons no plens) i el màxim de la banda de valència (la part superior de la banda per sota de la banda de conducció, de nivells d'energia d'electrons plens). Això s'aplica als semiconductors intrínsecs (no dopats). Això significa que, a temperatura zero absoluta, no hi hauria electrons lliures de conducció i la resistència seria infinita. No obstant això, la resistència disminueix a mesura que augmenta la densitat de portadors de càrrega (és a dir, sense introduir més complicacions, la densitat d'electrons) en la banda de conducció. En els semiconductors extrínsecs (dopats), els àtoms dopants augmenten la concentració majoritària de portadors de càrrega donant electrons a la banda de conducció o produint buits en la banda de valència. (Un "buit" és una posició en la qual falta un electró; tals buits poden comportar-se de manera similar als electrons). Per a tots dos tipus d'àtoms donants o acceptors, l'augment de la densitat de dopant redueix la resistència. Per tant, els semiconductors molt dopats es comporten de manera metàl·lica. A temperatures molt elevades, la contribució dels portadors generats tèrmicament domina sobre la contribució dels àtoms dopants, i la resistència disminueix exponencialment amb la temperatura.

En líquids iònics/electròlits

Article principal: Conductivitat (electrolítica)

En electròlits, la conducció elèctrica ocorre no per electrons de banda o forats, sinó per espècies atòmiques completes (ions) viatjant, cadascun portant una càrrega elèctrica. La resistivitat de les solucions iòniques (electròlits) varia enormement amb la concentració: mentre que l'aigua destil·lada és gairebé un aïllant, l'aigua salada és un conductor elèctric raonable. La conducció en líquids iònics també està controlada pel moviment dels ions, però en aquest cas es tracta de sals foses i no d'ions dissolts. En les membranes biològiques, els corrents són transportats per sals iòniques. Els petits orificis de les membranes cel·lulars, denominats canals iònics, són selectius per a determinats ions i determinen la resistència de la membrana.

Resistivitat de les roques

Pels seus components minerals, les roques serien aïllants en la major part dels casos (com ho són les roques ígnies). Les excepcions serien aquelles compostes principalment per semiconductors la proporció del qual en l'escorça és molt baixa. En conseqüència, si el terreny és un conductor moderat, es deu al fet que les roques que el constitueixen són poroses i a més posseeixen els seus porus parcialment o totalment ocupats per electròlits; per tant, es comporten com a conductors iònics de resistivitat molt variable.

Per a tenir una idea del fenomen de la conductivitat en tals roques es pot utilitzar l'expressió obtinguda per Maxwell que descriu la resistivitat $\rho _{12}\,\!$ d'un mitjà heterogeni compost per una matriu de resistivitat $\rho _{2}\,\!$ amb material dispers de resistivitat $\rho _{1}\,\!$ distribuït aleatòriament i ocupant una fracció $p\,\!$ del volum total:

$\rho _{12}={{2\rho _{1}+\rho _{2}+p(\rho _{1}-\rho _{2})} \over {2\rho _{1}+\rho _{2}-2p(\rho _{1}-\rho _{2})}}\cdot \rho _{2}\,\!$

Fórmula vàlida sol quan les impureses de resistivitat $\rho _{1}\,\!$ es troben en volums petits comparats amb les distàncies que els separen, és a dir, quan els valors de $p\,\!$ són baixos.

Resistivitat de les roques poroses saturades

Les roques poroses els porus de les quals estan plens d'electròlits constitueixen un mitjà heterogeni amb inclusions de resistivitat molt de menor que la dels minerals de la seva matriu. El cas d'interès més alt és aquell en el qual els porus es troben en contacte (porositat efectiva) i ofereixen un camí ininterromput per a la conducció de corrent elèctric. Per a una comprensió del fenomen és convenient utilitzar un model representatiu de la conducció, sent el de feix de capil·lars el més adequat per a aquest propòsit.

Considerant una mostra de roca electrolíticament saturada, amb un camí porós interconnectat (com un gres), i en la qual s'assumeix que tota la conducció elèctrica ocorre pel camí electrolític, es pot escriure:

$R=\rho _{r}{L \over S}=\rho _{a}{L_{e} \over S_{e}}\,\!$

Sent:

$\rho _{r}\,\!$ la resistivitat [Ω·mm²/m]

$L\,\!$ la longitud [m]

$S\,\!$ secció de la mostra [mm²]

$\rho _{a}\,\!$ la resistivitat de l'electròlit

$L_{e}\,\!$ i $S_{e}\,\!$ la longitud i secció del camí electrolític equivalent.

S'ha indicat entre [ ] les unitats típiques del S.I.

Vegeu també

• Superconductivitat
• Electricitat