Simetria esfèrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La simetria esfèrica és la simetria respecte a un punt central, de manera que un sistema físic o geomètric té simetria esfèrica quan tots els punts a una certa distància del punt central són equivalents.

Física[modifica | modifica el codi]

Un cert nombre de problemes físics d'interès, especialment relacionats amb la teoria de camps, els medis continus o la teoria quàntica són més fàcils de resoldre quan les dades de partida té simetria esfèrica, ja que la solució per a certes magnituds incògnites també tindrà simetria esfèrica. Això permet reduir un problema amb tres coordenades espacials a un problema d'una variable (variable radial). Per exemple en diverses àrees de la resolució de certs problemes requereix estudiar l'equació de Poisson següent:


 \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}= \rho (\vec{x})

Quan la funció "font" té simetria esfèrica, és a dir:


 \rho (x, y, z) = \tilde \rho (\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \,

El problema pot reformular en termes de dues variables com:


 \frac{\partial^2 \tilde \varphi}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\part \tilde \varphi}{\part r}+\frac{\part^2 \tilde \varphi}{\part z^2}= \tilde \rho (r)

On:


 \begin{cases}
\rho(x,y,z) = \tilde\rho(\sqrt{x^2+y^2+z^2}), & \tilde\rho(r) =
\rho(r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta) \\
\varphi(x,y,z) = \tilde\varphi(\sqrt{x^2+y^2+z^2}), & \tilde\varphi(r,z) =
\varphi(r\sin\theta\cos\phi, r\sin\theta\sin\phi, r\cos\theta) \end{cases}

Teoria de grups[modifica | modifica el codi]

Donat un problema geomètric o físic caracteritzat per un cert nombre de magnituds escalars  \phi (\mathbf{x}) o propietats tensorials  T ( \mathbf{x}) \in \mathcal{T}^p_q (\R^n) es diu que el problema té simetria esfèrica si hi ha representacions F p, q del grup SO (3 ):[1]


 F_{p, q}: SO (3) \to \mathcal{T}^p_q (\R^n) \otimes{\mathcal{T}^p_q}^* (\R^n)

Tals que:


 [F_{p, q}(\mathbf{T})] (F_{1,0}(\mathbf{x})) = \mathbf{T}(\mathbf{x}), \quad 
\phi (F_{1,0}(\mathbf{x})) = \phi (\mathbf{x})

Aquesta última expressa la condició que el fet de rotar el sistema d'eixos deixa forminvariantes les quantitats bàsiques que caracteritzen el problema.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referència[modifica | modifica el codi]

  1. Galindo i Pascual, pàg. 239-250.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]