Submersió riemanniana

En geometria diferencial, una branca de les matemàtiques, una submersió riemanniana és una submersió d'una varietat riemanniana a una altra que respecta la mètrica, en el sentit que és una projecció ortogonal en espais tangencials.

Definició formal

Siguin (M, g) i (N, h) dues varietat riemannianes i $f:M\to N$ una submersió (surjectiva), és a dir una varietat fibrada. La distribució horitzontal $K:=\mathrm {ker} (df)^{\perp }$ és un subfibrat del fibrat tangent de $TM$ que depèn tant de la projecció $f$ com de la mètrica $g$.

Llavors, f rep el nom de submersió riemanniana si i només si, per tot $x\in M$, l'isomorfisme d'espais vectorials $(df)_{x}:K_{x}\rightarrow T_{f(x)}N$ és isomètrica, és a dir preserva longituds.

Exemples

Un exemple de submersió riemanniana sorgeix quan un grup de Lie $G$ actua isomètricament, lliurement im pròpia en una varietat riemanniana $(M,g)$. La projecció $\pi :M\rightarrow N$ a l'espai quocient $N=M/G$ equipat amb una mètrica quocient és una submersió riemanniana. Per exemple, la multiplicació component per component en $S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}$ pel grup de nombres complexes unitaris dona lloc a la fibració de Hopf.

Propietats

Es pot calcular la curvatura seccional de l'espai objectiu d'una submersió riemanniana a partir de la curvatura de l'espai total mitjançant la fórmula d'O'Neill, que duu el nom de Barrett O'Neill:

$K_{N}(X,Y)=K_{M}({\tilde {X}},{\tilde {Y}})+{\tfrac {3}{4}}|[{\tilde {X}},{\tilde {Y}}]^{V}|^{2}$

on $X,Y$ son camps vectorials ortonormals en $N$, ${\tilde {X}},{\tilde {Y}}$ les seves projeccions horitzontals a $M$, $[*,*]$ és el corxet Lie de camps vectorials i $Z^{V}$ és la projecció del camp vectorial $Z$ a la distribució vertical.

En particular la fita inferior per la curvatura seccional de $N$ és almenys tan gran com la fita inferior de la curvatura seccional de $M$.

Bibliografia

• Gilkey, Peter B.; Leahy, John V. & Park, Jeonghyeong (1998), Spinors, Spectral Geometry, and Riemannian Submersions, Global Analysis Research Center, Seoul National University, <http://www.emis.de/monographs/GLP/>.
• Barrett O'Neill. The fundamental equations of a submersion. Michigan Math. J. 13 (1966), 459–469. doi:10.1307/mmj/1028999604