Vés al contingut

Superfície d'Enneper

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
Una porció de la superfície d'Enneper

En matemàtiques, en els camps de la geometria diferencial i geometria algebraica, la superfície d'Enneper és una superfície que s'autointersecciona i que pot ser descrita paramètricament per:

Va ser introduïda el 1864 per Alfred Enneper en connexió amb la teoria de la superfície minimal.[1][2][3][4]

La parametrització de Weierstraß–Enneper és molt simple, , i la forma paramètrica real es pot calcular a partir d'aquesta. La superfície està conjugada amb si mateixa.

Es poden usar mètodes d'implicitació de geometria algebraica per a trobar els punts de la superfície d'Enneper que satisfacen l'equació polinòmica de grau 9:

Dualment, el pla tangent en el punt amb els paràmetres donats és

on:

Els seus coeficients satisfan l'equació polinòmica de grau sis implícita:

El jacobià, la curvatura de Gauss i la curvatura mitjana són:

La curvatura total és . Osserman va demostrar que una superfície minimal completa en amb una curvatura total de és o bé el catenoide o la superfície d'Enneper.[5]

Una altra propietat n'és que totes les superfícies de Bézier minimals bicúbiques, fins a una transformació afí, són trossos d'aquesta superfície.[6]

Es pot generalitzar a ordres de simetria rotacional majors usant la parametrització de Weierstraß–Enneper per a sencers k>1.[3] Pot ser generalitzada per a majors dimensions; es coneixen superfícies semblants a la superfície d'Enneper en fins a n igual a 7.[7]

Referències

[modifica]
  1. J.C. c. Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen", Springer (1975)
  2. Francisco J. López, Francisco Martín, Complete minimal surfaces in R3
  3. 3,0 3,1 Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Minimal Surfaces. Berlin Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-642-11697-1
  4. Weisstein, Eric W., «Enneper's Minimal Surface» a MathWorld (en anglès).
  5. R. Osserman, A survey of Minimal Surfaces. Vol. 1, Cambridge Univ. Press, New York (1989).
  6. Cosín, C., Monterde, Bézier surfaces of minimal area. In Computational Science — ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Lecture Notes in Computer Science 2330, Springer Berlin / Heidelberg, 2002. pp. 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8
  7. Jaigyoung Choe, On the existence of higher dimensional Enneper's surface, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, Volume 71, Issue 1, pp 556-569

Enllaços externs

[modifica]