Teorema de Parseval

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, el teorema de Parseval demostra que la Transformada de Fourier és unitària, és a dir, que la suma (o la integral) del quadrat d'una funció és igual a la suma (o a la integral) del quadrat de la seva transformada. Aquesta relació procedeix d'un teorema de 1799 sobre sèries, el creador va ser Marc Antoine Parseval. Aquesta relació es va aplicar més tard a les Sèries de Fourier.

Encara que el teorema de Parseval se sol usar per indicar la unicitat de qualsevol transformada de Fourier, sobretot en física i enginyeria, la forma generalitzada d'aquest teorema és el Teorema de Plancherel.

Fórmula[modifica | modifica el codi]

En física i enginyeria, la relació de Parseval se sol escriure com:

 \int_{- \infty}^{\infty}|f (t)|^2 dt = \int_{- \infty}^{\infty}|\mathcal{F}[f (t)] (\alpha)|^2 d \alpha
On  \mathcal{F}[f (t)] (\alpha) representa la transformada contínua de Fourier de x ( t ) i f representa la freqüència (en hertz s) de x .

La interpretació d'aquesta fórmula és que l'energia total del senyal x ( t ) és igual a l'energia total de la seva transformada de Fourier X ( f ) al llarg de totes les seves components freqüencials.

Per senyals de temps discret, la relació és la següent:

 \sum_{n = - \infty}^{\infty}|x [n]|^2 = \int_{- \pi}^{\pi}|X (e^{j \phi})|^2 d \phi
On X és la transformada de Fourier de temps discret (DTFT) de x i φ representa la freqüència angular (en radians) d ' x .

D'altra banda, per a la transformada discreta de Fourier (DFT), la relació és:

 \sum_{n = 0}^{N-1}|x [n]|^2 = \frac{1}{N}\sum_{k = 0}^{N-1}|X [k]|^2
On X [ k ] és la DFT de x [ n ], ambdues de longitud N .

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Referències[modifica | modifica el codi]

  • O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. «Teorema de Parseval» (en anglès). MacTutor History of Mathematics archive.
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
  • Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
  • William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410-411.

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]