Teorema de Rouché-Frobenius

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui el sistema lineal d'equacions


\begin{cases}
\begin{align}
\alpha_{1}^{1} x^{1} + \alpha_{2}^{1} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{1} x^{m} & = \beta^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} x^{1} + \alpha_{2}^{2} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{2} x^{m} & = \beta^{2} \\ 
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\alpha_{1}^{n} x^{1} + \alpha_{2}^{n} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} x^{m} & = \beta^{n} \\ 
\end{align}
\end{cases}
\qquad\qquad\qquad
(1)

amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada


A =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots \\
\alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} \\ 
\end{pmatrix}
\,,\qquad
(A|b) =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} & \alpha_{2}^{1} & \ldots & \alpha_{m}^{1} & \beta^{1} \\ 
\alpha_{1}^{2} & \alpha_{2}^{2} & \ldots & \alpha_{m}^{2} & \beta^{2} \\ 
\vdots & \vdots & \vdots\,\vdots\,\vdots & \vdots & \vdots \\
\alpha_{1}^{n} & \alpha_{2}^{n} & \ldots & \alpha_{m}^{n} & \beta^{n} \\ 
\end{pmatrix}

i sistema homogeni associat


\begin{cases}
\begin{align}
\alpha_{1}^{1} x^{1} + \alpha_{2}^{1} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{1} x^{m} &= 0 \\ 
\alpha_{1}^{2} x^{1} + \alpha_{2}^{2} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{2} x^{m} &= 0 \\ 
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots & \ldots \\
\alpha_{1}^{n} x^{1} + \alpha_{2}^{n} x^{2} + \cdots + \alpha_{m}^{n} x^{m} &= 0 \\ 
\end{align}
\end{cases}
\qquad\qquad\qquad
(2)

Es coneix com a teorema de Rouché-Frobenius el conjunt de les següents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:

  • El sistema (1) és compatible, és a dir, té solució, si, i només si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang, això és,


\mbox{rang} \, A = \mbox{rang} \, (A|b)

  • Si el sistema (1) és compatible, aleshores la solució general del sistema s'obté tot sumant a una solució particular la solució general del sistema homogeni associat (2).

Precisions complementàries[modifica | modifica el codi]

Com que, si \mbox{rang} \, A = m (el nombre d'incògnites), el sistema homogeni associat només té la solució trivial


x^{1} = x^{2} = \cdots = x^{m} = 0

resulta que el sistema (1), en cas de ser compatible, és determinat, és a dir, amb solució única, si, i només si, \mbox{rang} \, A = m. Si \mbox{rang} \, A < m, aleshores la solució de (1) no és única i el sistema es diu indeterminat.

Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com incògnites és infinit, el cas dels nombres racionals, \mathbb{Q}, i les seves extensions algebraiques, dels nombres reals, \mathbb{R}, o dels nombres complexos, \mathbb{C}, aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat és infinit.

Justificació[modifica | modifica el codi]

Quant a la primera afirmació[modifica | modifica el codi]

La primera de les afirmacions del teorema resulta òbvia si tenim en compte que, si en afegir la columna


b =
\begin{pmatrix}
\beta^{1} \\
\beta^{2} \\
\vdots \\
\beta^{n} \\
\end{pmatrix}

dels termes independents a la matriu A del sistema, el rang no varia, això és perquè el vector columna de termes independents, b, no és linealment independent dels vectors columna de coeficients,


a_{1} =
\begin{pmatrix}
\alpha_{1}^{1} \\
\alpha_{1}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{1}^{n} \\
\end{pmatrix}
\,,\quad
a_{2} =
\begin{pmatrix}
\alpha_{2}^{1} \\
\alpha_{2}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{2}^{n} \\
\end{pmatrix}
\,,\quad\ldots\,,
a_{m} =
\begin{pmatrix}
\alpha_{m}^{1} \\
\alpha_{m}^{2} \\
\vdots \\
\alpha_{m}^{n} \\
\end{pmatrix}

i , per tant, hi ha x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{m} que fan


x^{1} a_{1} + x^{2} a_{2} + \cdots + x^{m} a_{m} = b

i el sistema (1) té solució. En canvi \mbox{rang} \, A < \mbox{rang} \, (A|b) implica la independència lineal del vector b i, per tant, la no existència dels escalars x^{1}, x^{2}, \ldots, x^{m}, és a dir, la no existència de solucions.

Quant a la segona afirmació[modifica | modifica el codi]

La segona de les afirmacions del teorema també resulta immediata després de considerar que, si


x_{1}^{1}, x_{1}^{2}, \ldots, x_{1}^{m}

és una solució del sistema (1) i


x_{2}^{1}, x_{2}^{2}, \ldots, x_{2}^{m}

també ho és, aleshores


x_{1}^{1} - x_{2}^{1}, x_{1}^{2} - x_{2}^{2}, \ldots, x_{1}^{m} - x_{2}^{m}

és una solució del sistema homogeni (2).

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Sistema lineal d'equacions