Teorema de Rouché-Frobenius

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

Definició[modifica | modifica el codi]

Sigui el sistema lineal d'equacions

amb, respectivament, matriu del sistema i matriu ampliada

i sistema homogeni associat

Es coneix com a teorema de Rouché-Frobenius el conjunt de les següents proposicions sobre sistemes d'equacions lineals:

  • El sistema és compatible, és a dir, té solució, si, i només si, la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang, això és,

  • Si el sistema és compatible, aleshores la solució general del sistema s'obté tot sumant a una solució particular la solució general del sistema homogeni associat .

Precisions complementàries[modifica | modifica el codi]

Com que, si (el nombre d'incògnites), el sistema homogeni associat només té la solució trivial

resulta que el sistema , en cas de ser compatible, és determinat, és a dir, amb solució única, si, i només si, . Si , aleshores la solució de no és única i el sistema es diu indeterminat.

Si el cos al qual pertanyen tant coeficients com incògnites és infinit, el cas dels nombres racionals, , i les seves extensions algebraiques, dels nombres reals, , o dels nombres complexos, , aleshores els nombre de solucions d'un sistema lineal indeterminat és infinit.

Justificació[modifica | modifica el codi]

Quant a la primera afirmació[modifica | modifica el codi]

La primera de les afirmacions del teorema resulta òbvia si tenim en compte que, si en afegir la columna

dels termes independents a la matriu del sistema, el rang no varia, això és perquè el vector columna de termes independents, , no és linealment independent dels vectors columna de coeficients,

i, per tant, hi ha que fan

i el sistema té solució. En canvi implica la independència lineal del vector i, per tant, la no existència dels escalars , és a dir, la no existència de solucions.

Quant a la segona afirmació[modifica | modifica el codi]

La segona de les afirmacions del teorema també resulta immediata després de considerar que, si

és una solució del sistema i

també ho és, aleshores

és una solució del sistema homogeni .

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Sistema lineal d'equacions