Teoria ergòdica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

La teoria ergòdica és una branca de les matemàtiques que va sorgir de l'estudi realitzat pel físic Ludwig Boltzmann el 1871 per la seva teoria cinètica dels gasos. Ha tingut molts desenvolupaments en estreta relació amb la teoria dels sistemes dinàmics i la teoria del caos.

Teorema ergòdic de Birkhoff[modifica | modifica el codi]

Aquest teorema relaciona la mitjana temporal i la mitjana en l'espai d'una funció. Per a això és necessari definir prèviament aquests conceptes:

  • Considereu el mitjana en el temps d'una funció f de "bon-comportament" ( well-Behave ), definit com la mitjana (si existeix) sobre iteracions de  T començant en algun punt inicial  x_0 :
 \hat f (x) = \lim_{n \rightarrow \infty}\;
 \frac{1}{num}\sum_{k = 0}^{n-1}f \left (T^kx \right)
  • Considereu també el mitjana en l'espai de f , que es defineix com:
 \bar f = \int f \, d \mu

on μ és una mesura en l'espai de probabilitat.

En general, la mitjana en el temps i la mitjana en l'espai no són necessàriament iguals.

Però si la transformació és ergòdica, i la mesuras invariant, llavors la mitjana en el temps és igual a la mitjana en l'espai excepte potser per a un conjunt de mesura 0. Aquest és el famós Teorema ergòdic en forma abstracta, elaborat per George David Birkhoff.

El Teorema de Weyls un cas especial de l ' Teorema ergòdic , que es basa en la distribució de probabilitat en l'interval unitari [0,1].