Test de la segona derivada

De Viquipèdia

El criteri de la segona derivada o test de la segona derivada és un teorema o mètode del càlcul matemàtic en el qual s'utilitza la segona derivada per efectuar una prova simple corresponent als màxims i mínims relatius.

Es basa en el fet que si la gràfica d'una funció és convexa en un interval obert que conté a , i ha de ser un mínim relatiu de . De manera similar, si la gràfica d'una funció és còncava cap avall en un interval obert que conté a i ha ser un màxim relatiu de .

Teorema[modifica]

Sigui una funció tal que ( és un punt crític) i la segona derivada de existeix en un interval obert que conté a .[1]

  • Si , llavors té un mínim relatiu en .
  • Si , llavors té un màxim relatiu en .
  • Si , llavors potser tingui en un màxim relatiu, un mínim relatiu o cap dels dos.

En el cas que , es pot aplicar el test de la primera derivada per determinar si es tracta d'un extrem.

Exemples[modifica]

  • Els punts crítics de la funció són i . La funció és dues vegades derivable en entorns d'aquests punts i la seva segona derivada és . Com que i , pel test de la segona derivada, té un mínim local en i un màxim local en .[2]
  • La funció és dues vegades derivable en un entorn del punt crític però, . No es pot establir si es tracta o no d'un extrem relatiu aplicant el test de la segona derivada.

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]

Criteri de la Segona Derivada. Universitat Michoacana de Sant Nicolau d'Hidalgo Arxivat 2008-07-12 a Wayback Machine.

Referències[modifica]

  1. Llopis, José L. «Demostración del criterio de la segunda derivada» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 10 agost 2019].
  2. Llopis, José L. «Extremos y monotonía de funciones» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 10 agost 2019].