Transformada de Hilbert

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La transformada de Hilbert (en vermell) d'una ona quadrada (en blau).

En matemàtiques i en processament de senyals, la transformada de Hilbert d'una funció real s'obté mitjançant la convolució dels senyals i obtenint . Per tant, la transformada de Hilbert es pot interpretar com la sortida d'un sistema LTI amb entrada i resposta a l'impuls .

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

És una eina matemàtica útil per descriure l'envolupant complexa d'un senyal modulat per una portadora real. La seva definició és:

on , considerant la integral com el valor principal (cosa que evita la singularitat ).

Utilitzant es pot construir el senyal analític de s(t) com a:

La transformada de Hilbert posseeix una resposta en freqüència donada per la transformada de Fourier:

o, de manera equivalent:

(o també ) és la unitat imaginària.

I, com que:

,

la transformada de Hilbert produeix l'efecte de desplaçar la component de freqüències negatives de +90° i les part de freqüències positives -90°.

Transformada inversa de Hilbert[modifica | modifica el codi]

També, , per la qual cosa multiplicant l'equació anterior per , s'obté que:

d'on s'obté la transformada inversa de Hilbert :

Exemples de transformades[modifica | modifica el codi]

Senyal
Transformada de Hilbert

Funció sinc

Funció rectangle

Funció delta de Dirac