Usuari:Freutci/b

Exemple introductori

Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents, amb funcions de densitat $f_{X}$ i $f_{Y}$ respectivament. La funció de distribució de $X+Y$ es pot calcular de la següent manera: Fixat $t\in \mathbb {R}$, pel teorema de Fubini,

$${\begin{aligned}F_{X+Y}(t)&=P(X+Y\leq t)=\int \int _{\{x+y\leq t\}}f_{X}(x)f_{Y}(y)\,dx\,dy=\int _{x=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{t-x}f_{X}(x)f_{Y}(y)\,dx\,dy\\&=\int _{u=-\infty }^{\infty }\int _{y=-\infty }^{t}f_{X}(t-u)f_{Y}(y)\,du\,dy=\int _{y=-\infty }^{t}{\Big (}\int _{u=-\infty }^{\infty }f_{X}(t-u)f_{Y}(y)\,du{\Big )}dy.\end{aligned}}$$

Això implica que la variable aleatòria $X+Y$ té funció de densitat donada per

$$f_{X+Y}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x-y)f_{Y}(y)\,dy.$$

La integral de la dreta es designa per $f_{X}*f_{Y}$ , i s'anomena convolució de $f_{X}$ i $f_{Y}$. Noteu que per un canvi de variable,

$$\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(x-y)f_{X}(y)\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x-y)f_{Y}(y)\,dy,$$

la qual cosa és evident ja que la funció de distribució de $X+Y$ és la mateixa que la de $Y+X$ .

Definició

La definició general de convolució es formula en termes de distribucions de probabilitats; més endavant recuperarem l'exemple introductori. Recordem que una distribució de probabilitat $Q$ a $\mathbb {R}$ és una mesura de probabilitat a l'espai mesurable $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, on ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ és la $\sigma$ -àlgebra de Borel sobre $\mathbb {R}$, és a dir, $Q:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]$ , tal que $Q(\mathbb {R} )=1$ i és $\sigma$-additiva: Si $A_{1},A_{2}\dots \in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ són disjunts dos a dos, $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset$ , si $i\neq j$ , aleshores

$$Q{\Big (}\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}{\Big )}=\sum _{n=1}^{\infty }Q(A_{n}).$$

Definició. Donades dues distribucions de probabilitat a $\mathbb {R}$, $Q_{1}$ i $Q_{2}$, la seva convolució o producte de convolució és la distribució de probabilitat a $\mathbb {R}$ definida per

$$Q_{1}*Q_{2}(A)=\int _{\mathbb {R} }Q_{2}(A-x)\,dQ_{1}(x)=\int _{\mathbb {R} }Q_{1}(A-x)\,dQ_{2}(x),\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\qquad \qquad (1)$$

on les integrals són integrals de Lebesgue en l'espai de mesura $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),Q_{1})$ o $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),Q_{2})$ , i

$$A-x=\{a-x,\,a\in A\}.$$

De manera, equivalent ,

$$Q_{1}*Q_{2}(A)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}{\boldsymbol {1}}_{A}(x+y)\,dQ_{1}(x)\,dQ_{2}(y),\qquad \qquad (2)$$

on

$${\boldsymbol {1}}_{C}(x)={\begin{cases}1,&{\text{si }}x\in C,\\0,&{\text{en cas contrari}},\end{cases}}$$

és la funció indicador d'un conjunt $C$. La convolució és commutativa i associativa:

$$Q_{1}*Q_{2}=Q_{2}*Q_{1}\quad {\text{i}}\quad (Q_{1}*Q_{2})*Q_{3}=Q_{1}*(Q_{2}*Q_{3}).$$

Aquestes propietats permeten considerar sense ambigüitat la convolució de diverses distribucions. Es defineix la $n$-èssima potència de convolució de $Q$per

$$Q^{n*}=Q*\cdots *Q.\qquad \qquad (3)$$

Convolució i funcions característiques. Recordem que la funció característica d'una distribució de probabilitat $Q$ és la funció $\varphi _{Q}:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ definida per

$$\varphi _{Q}(t)=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}\,dQ(x),\quad t\in \mathbb {R} .$$

La funció característica d'una convolució és el producte de les funcions característiques:

$$\varphi _{Q_{1}*Q_{2}}(t)=\varphi _{Q_{1}}(t)\,\varphi _{Q_{2}}(t),\quad {\text{per a qualsevol }}t\in \mathbb {R} .$$

Integració respecte d'una convolució. Sigui $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ una funció mesurable, positiva o integrable respecte $Q_{1}*Q_{2}$. Aleshores

$$\int _{\mathbb {R} }h(x)\,dQ_{1}*Q_{2}(x)=\iint _{\mathbb {R} ^{2}}h(x+y)\,dQ_{1}(x)\,dQ_{2}(y).\qquad \qquad (4)$$

Propietat fonamental: Convolució i suma de variables aleatòries independents.

Sigui $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ un espai de probabilitat. Donada una variable aleatòria $Z$, la seva distribució $P_{Z}$ és la distribució a $\mathbb {R}$ definida per

$$P_{Z}(A)=P{\big (}\{Z\in A\}{\big )},\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$$

Tenim la següent propietat: Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents. Aleshores

$$P_{X+Y}=P_{X}*P_{Y}.$$

En aquest context, $P_{X}^{n*}$ és la distribució de la suma $X_{1}+\cdots +X_{n}$ on $X_{1},\dots ,X_{n}$ són independents i totes amb la mateixa distribució que $X$.

Observació. Donada una distribució de probabilitat $Q$, sempre es pot construir un espai de probabilitat i una variable aleatòria $X$ tal que $Q=P_{X}$ . Això permet definir la convolució a partir de la suma de variables independents , tal com hem fet a l'exemple introductori.

Relacions amb altres nocions de convolució

En teoria de la probabilitat una funció de distribució és una funció $F:\mathbb {R} \to [0,1]$ no decreixent, contínua per la dreta, amb $\lim _{x\to -\infty }F(x)=0$ i $\lim _{x\to \infty }F(x)=1$. Hi ha una correspondència bijectiva entre les funcions de distribució i les distribucions de probabilitat a $\mathbb {R}$: Si $F$ és una funció de distribució, defineix una distribució de probabilitat per la fórmula

$$Q{\big (}(a,b]{\big )}=F(b)-F(a),\quad {\text{per a qualsevols }}a\leq b.$$

Recíprocament, donada una distribució de probabilitat $Q$ a $\mathbb {R}$, es defineix una funció de distribució$F$ mitjançant

$$F(x)=Q{\big (}-\infty ,x]{\big )},\quad x\in \mathbb {R} .$$

Donada una funció de distribució $F$ corresponent a una distribució de probabilitat $Q$, si $h:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ és una funció mesurable, es denota la integral de Lebesgue-Stieltjes de $h$ respecte de $F$ per $\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\,dF(x)$. Si $Q$ és la distribució de probabilitat associada a $F$,

$$\int _{-\infty }^{\infty }h(x)\,dF(x)=\int _{\mathbb {R} }h(x)\,dQ(x).$$

A la literatura es troben les següents definicions de convolució :
1. Convolució de funcions de distribució. Donades dues funcions de distribució $F_{1}$ i $F_{2}$ es defineix la seva convolució per

$$F_{1}*F_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }F_{1}(x-y)\,dF_{2}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }F_{2}(x-y)\,dF_{1}(y).$$

2. Convolució d'una funció i una funció de distribució. Donada una funció $f_{1}$ i una funció de distribució $F_{2}$ es defineix las seva convolució per

$$f_{1}*F_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-y)\,dF_{2}(y).$$

3. Convolució de dues funcions. Donades dues funcions $f_{1}$ i $f_{2}$ es defineix la seva convolució per

$$f_{1}*f_{2}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}(x-y)f_{2}(y)\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f_{2}(x-y)f_{1}(y)\,dy.$$

4. Convolució de dues funcions definides sobre els nombres enters. Donades dues funcions $q_{1},q_{2}:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$ (o, equivalentment, dues successions $q_{1}={\big (}q_{1}(n){\big )}_{n\in \mathbb {Z} }$ i $q_{2}={\big (}q_{2}(n){\big )}_{n\in \mathbb {Z} }$ es defineix la seva convolució per

$$q_{1}*q_{2}(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q_{2}(n-k)q_{1}(k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q_{1}(n-k)q_{2}(k).$$

Tal com diu Hoffmann-Jorgensen , és òbviament inconsistent utilitzar el símbol $*$ per a convolucions diferents, però aquesta és la tradició. Veiem com es relacionen totes aquestes convolucions:
1. Si $F_{1}$ i $F_{2}$ són les funcions de distribució de $Q_{1}$i $Q_{2}$ respectivament, aleshores $F_{1}*F_{2}$ és la funció de distribució de $Q_{1}*Q_{2}$.
2. Amb les notacions anteriors, si $F_{1}$ té funció de densitat $f_{1}$, aleshores $F_{1}*F_{2}$ té funció de densitat $f_{1}*F_{2}$.

3. Amb les mateixes notacions, si, a més, $F_{2}$ té funció de densitat $f_{2}$, la funció de densitat de $F_{1}*F_{2}$ és $f_{1}*f_{2}$ .
4. Si les distribucions $Q_{1}$ i $Q_{2}$ estan concentrades en els nombres enters, amb funcions de probabilitat (o repartiment de massa) $q_{1}$ i $q_{2}$ aleshores $Q_{1}*Q_{2}$ també està concentrada en els nombres enters i la seva funció de probabilitat és $q_{1}*q_{2}$.

Observacions i demostracions

Les demostracions de les propietats anteriors són molt senzilles, gaire bé tautològiques, però demanen diverses notacions i propietats.

Espai producte. Donats dos espais mesurables, $(E_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ i $(E_{2},{\mathcal {A}}_{2})$, la $\sigma$-àlgebra producte ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ sobre $E_{1}\times E_{2}$ és la mínima $\sigma$-àlgebra que conté tots els conjunts de la forma $A\times B$, $A\in {\mathcal {A}}_{1}$ i $B\in {\mathcal {A}}_{2}$ , els quals s'anomenen rectangles. Si $C\in {\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ i $x\in E_{1}$ , aleshores

$$C_{x}=\{y\in E_{2}:\,(x,y)\in C\}\in {\mathcal {A}}_{2}.$$

Sigui $f:\,E_{1}\times E_{2}\to \mathbb {R}$ una funció ${\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2}$ mesurable. Aleshores per a qualsevol $x\in E_{1}$, la funció

$${\begin{aligned}f_{x}:\,&E_{2}\to \mathbb {R} \\&\,y\mapsto f(x,y)\end{aligned}}$$

és ${\mathcal {A}}_{2}$ mesurable. Aquesta funció s'anomena secció de $f$ per $x$.

Mesura producte. Si $\mu _{1}$ i $\mu _{2}$ són mesures a $(E_{1},{\mathcal {A}}_{1})$ i $(E_{2},{\mathcal {A}}_{2})$ respectivament, aleshores la mesura producte $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ sobre l'espai mesurable $(E_{1}\times E_{2},{\mathcal {A}}_{1}\otimes {\mathcal {A}}_{2})$ és la mesura determinada per

$$\mu _{1}\otimes \mu _{2}(A\times B)=\mu _{1}(A)\,\mu _{2}(B),\quad A\in {\mathcal {A}}_{1},\ B\in {\mathcal {A}}_{2}.$$

Teorema de Fubini. Considerem dos espais de mesura $(E_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1})$ i $(E_{2},{\mathcal {A}}_{2},\mu _{2})$, amb $\mu _{1}$ i $\mu _{2}$ mesures $\sigma$-finites, i sigui $f:\,E_{1}\times E_{2}\to \mathbb {R}$ una funció mesurable positiva. Aleshores la funció

$${\begin{aligned}&E_{1}\to \mathbb {R} \\&\,x\mapsto \int _{E_{2}}f_{x}(y)\,d\mu _{2}\end{aligned}}$$

es ${\mathcal {A}}_{1}$ mesurable i

$$\int _{E_{1}\times E_{2}}f\,d\mu _{1}\otimes \mu _{2}=\int _{E_{1}}{\bigg (}\int _{E_{2}}f_{x}(y)\,d\mu _{2}(y){\bigg )}\mu _{1}(x)).$$

El mateix és cert si la funció $f$ és $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ integrable, però llavors la funció $\int _{E_{2}}f_{x}(y)\,d\mu _{2}(y)$ està definida excepte sobre un conjunt de mesura $\mu _{1}$zero.

Comentaris sobre la definició (1). Aplicarem el teorema de Fubini als espais de mesura $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),Q_{1})$ i $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),Q_{2})$ i la funció

$$f(x,y)={\boldsymbol {1}}_{\{(a,b):\,a+b\in A\}}(x,y)={\boldsymbol {1}}_{A}(x+y).$$

La secció d'aquesta funció per $x$ és

$$f_{x}(y)={\boldsymbol {1}}_{\{y:\,x+y\in A\}}(y)={\boldsymbol {1}}_{A-x}(y).$$

Llavors, per la primera part del Teorema de Fubini, la funció

$$x\mapsto \int _{\mathbb {R} }f_{x}(y)\,dQ_{2}(y)=Q_{2}(A-x)$$

és mesurable. Per tant, la primera integral de la definició (1) està ben definida. L'aplicació

$${\begin{aligned}Q_{1}*Q_{2}:{\mathcal {B}}&(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} \\&A\mapsto \int _{\mathbb {R} }Q_{2}(A-x)\,dQ_{1}(x)\end{aligned}}$$

és una probabilitat, ja que es comprova que $Q_{1}*Q_{2}(\mathbb {R} )=1$ i que la funció $Q_{1}*Q_{2}$ és $\sigma$-additiva.

Demostració de l'equivalència entre les definicions (1) i (2). Aquí s'aplica la segona part del Teorema de Fubini amb la mateixa funció $f$ que abans:

$$\iint _{\mathbb {R} ^{2}}{\boldsymbol {1}}_{A}(x+y)\,dQ_{1}(x)\,dQ_{2}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{2}}f(x,y)\,dQ_{1}\otimes Q_{2}(x,y)=\int _{\mathbb {R} }{\bigg (}\int _{\mathbb {R} }f_{x}(y)\,dQ_{2}(y){\bigg )}dQ_{1}(x)=\int _{\mathbb {R} }Q_{2}(A-x)\,dQ_{1}(x).$$

Llei conjunta de dues variables aleatòries. Donades dues variables aleatòries $X$ i $Y$ s'anomena llei conjunta del vector aleatori $(X,Y)$ a la distribució de probabilitat sobre $\mathbb {R} ^{2}$ a

$$P_{X,Y}(C)=p(\{(X,Y)\in C\}),\quad C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{2}).$$

Dues variables aleatòries són independents si i només si

$$P_{X,Y}=P_{X}\otimes P_{Y}.$$

Demostració de la propietat fonamental.

Lema: Siguin $X$ i $Y$ dues variables aleatòries independents, $Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})$ . Designem per $\varphi _{X}$ la funció característica de $X$. Aleshores $X+Y$ té funció de densitat

$$f(x)={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t)e^{-itx-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dt.$$

Prova.

Aquesta prova es basa en que la funció característica de la distribució normal centrada coincideix, excepte una constant multiplicativa, amb la seva funció de densitat. Concretament, si $\varphi _{Y}$ és la funció característica de $Y$ i $f_{Y}$ la seva funció de densitat, llavors

$$f_{Y}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\varphi _{Y}(x).$$

Per demostrar el lema, d'acord amb les propietats de la convolució, atès que $Y$ té densitat, $X+Y$ també, que és

$${\begin{aligned}f(x)&=\int _{s=-\infty }^{\infty }f_{Y}(s-x)\,dP_{X}(s)=\int _{s=-\infty }^{\infty }f_{Y}(x-s)\,dP_{X}(s)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{s=-\infty }^{\infty }\varphi _{Y}(x-s)\,dP_{X}(s)\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{s=-\infty }^{\infty }{\bigg (}\int _{t=-\infty }^{\infty }e^{i(x-s)t}e^{-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\,dt{\bigg )}\,dP_{X}(s){\overset {(*)}{=}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{t=-\infty }^{\infty }{\bigg (}\int _{s=-\infty }^{\infty }e^{ist}\,dP_{X}(s){\bigg )}e^{-itx-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\,dt\\&={\frac {1}{2\pi }}\int _{t=-\infty }^{\infty }\varphi _{X}(t)e^{-itx-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\,dt,\end{aligned}}$$

on a la igualtat (*) hem aplicat el Teorema de Fubini, la qual cosa pot fers-se ja que

$$\int _{s=-\infty }^{\infty }\int _{t=-\infty }^{\infty }{\bigg \vert }e^{i(x-s)t}e^{-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}{\bigg \vert }\,\,dt\,dP_{X}(s)\leq \int _{s=-\infty }^{\infty }\int _{t=-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {t^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,\,dt\,dP_{X}(s)={\sqrt {2\pi }}\int _{s=-\infty }^{\infty }dP_{X}(s)={\sqrt {2\pi }}P_{X}(\mathbb {R} )={\sqrt {2\pi }}.$$