Usuari:Freutci/chiNoCentrada

Càlcul de la funció de densitat

EEl càlcul de la funció de densitat és laboriós i el separarem en 4 passos: Sigui $J\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )$.

1r. pas. Demostrarem la descomposició

$$J\quad {\overset {\mathcal {D}}{=}}\quad J_{1}+J_{2},$$

on $J_{1}\sim \chi _{1}^{2}(\lambda )$ , $J_{2}\sim \chi _{k-1}^{2}$, $J_{1}$ i $J_{2}$ són independents, i ${\overset {\mathcal {D}}{=}}$ vol dir igualtat en distribució o llei (vegeu la pàgina Variable aleatòria).

2n. pas. Calcularem una primera versió de la funció de densitat de $J_{1}$.

3r. pas. Reescriurem la funció de densitat que hem trobat al pas anterior i identificarem una mixtura de distribucions $\chi ^{2}$amb diferents graus de llibertat i pesos de Poisson.

4t. pas. Ajuntant els passos 1 i 3 deduirem la densitat de $J$.

1r. pas. Escrivim

$$J=(Z_{1}+\mu _{1})^{2}+\cdots +(Z_{k}+\mu _{k})^{2}.$$

El nostre objectiu és veure que tenim

$$J\quad {\overset {\mathcal {D}}{=}}\quad (Z_{1}+{\sqrt {\lambda }})^{2}+Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2},\quad \quad (1)$$

on $\lambda =\sum _{j=1}^{k}\mu _{k}^{2}$, i llavors definirem

$$J_{1}=(Z_{1}+{\sqrt {\lambda }})^{2}\sim \chi _{1}^{2}(\lambda )\quad {\text{i}}\quad J_{2}=Z_{2}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}.$$

Partim de les variables $X_{1},\dots ,X_{k}$ independents, amb $X_{j}\sim {\mathcal {N}}(\mu _{j},1),\ j=1,\dots ,k$. Considerem el vector aleatori normal multidimensional

$${\boldsymbol {X}}=(X_{1},\dots ,X_{k})'\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {I}}),$$

on $A'$ vol dir la transposada de la matriu o vector $A$, ${\boldsymbol {\mu }}=(\mu _{1},\dots ,\mu _{k})'$ i ${\boldsymbol {I}}$ és la matriu identitat de dimensió $k$. Notem que $\delta ={\boldsymbol {\mu }}'{\boldsymbol {\mu }}=\Vert {\boldsymbol {\mu }}\Vert ^{2}.$ Considerem una matriu ortogonal ${\boldsymbol {H}}$ tal que la seva primera fila sigui $\mu _{1}/{\sqrt {\delta }},\dots ,\mu _{k}/{\sqrt {\delta }}$ . Aquesta matriu pot construir-se partint del vector ${\boldsymbol {\mu }}$, ampliant-ho a una base de $\mathbb {R} ^{k}$, ortonormalitzant la base pel procediment d'ortogonaització de Gramm-Schmidt i utilitzant aquests vectors com a files de la matriu. Sigui

$${\boldsymbol {Y}}={\boldsymbol {HX}}\sim {\mathcal {N}}{\big (}({\sqrt {\lambda }},0,\dots ,0)',{\boldsymbol {I}}{\big )}.$$

Llavors, per l'ortogonalitat de la matriu ${\boldsymbol {H}}$,

$${\boldsymbol {Y'Y}}={\boldsymbol {X'X}}=J,$$

d'on s'obté l'expressió (1).

2n. pas. Càlcul d'una primera versió de la funció de densitat de $J_{1}=(Z_{1}+{\sqrt {\lambda }})^{2}$ . La variable aleatòria $J_{1}$ és la transformació d'una variable $Y=(Z_{1}+{\sqrt {\lambda }})\sim {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }},1)$mitjançant la funció $h:\mathbb {R} \rightarrow [0,\infty )$ donada per $h(y)=y^{2}$; però aquesta funció no és bijectiva i cal separ-la en dues parts bijectives:

$$h_{1}:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )\quad {\text{i}}\quad h_{2}:(-\infty ,0)\rightarrow (0,\infty )$$

definides ambdues per

$$h_{1}(y)=h_{2}(y)=y^{2}.$$

Les inverses respectives són

$$g_{1}:(0,\infty )\rightarrow (0,\infty )\quad {\text{i}}\quad g_{2}:(0,\infty )\rightarrow (-\infty ,0)$$

$$g_{1}(x)={\sqrt {x}}\quad {\text{i}}\quad g_{2}(x)=-{\sqrt {x}}$$

Aleshores la funció de densitat de $J_{1}$ és

$$f_{J_{1}}(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\Big (}e^{-({\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})^{2}/2}+e^{-(-{\sqrt {x}}-{\sqrt {\lambda }})^{2}/2}{\Big )}={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh {\big (}{\sqrt {\lambda x}}{\big )},\quad x>0.$$

3r. pas. Identificació de la distribució $J_{1}$ de com una mixtura de distribucions $\chi ^{2}$ amb pesos donats per una distribució de Poisson.

Designarem per $f_{Y_{n}}(x)$ la funció de densitat d'una distribució $\chi _{n}^{2}$. Notem que per una distribució $\chi _{1+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots$ tenim

$$f_{Y_{1+2j}}(x)={\frac {x^{-1/2+j}e^{-x/2}}{2^{1/2+j}\,\Gamma (1/2+j)}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}\,{\frac {x^{j}e^{-x/2}}{2^{j}\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}},\quad x>0.$$

D'altra banda, el desenvolupament en sèrie de Taylor del cosinus hiperbòlic és

$$\cosh y=1+{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}+\dots =\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {y^{2j}}{(2j)!}}.$$

Aleshores,

$$\cosh {\big (}{\sqrt {\lambda x}}{\big )}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}x^{j}}{(2j)!}}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{j}x^{j}}{2^{j}j!\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}}=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}{\frac {x^{j}}{2^{j}\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}}.$$

Per tant,

$$f_{J_{1}(x)}={\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}e^{-(x+\lambda )/2}\cosh {\big (}{\sqrt {\lambda x}}{\big )}=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}\,{\frac {x^{j}e^{-x/2}}{2^{j}\,1\cdot 3\cdots (2j-1)}}=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,f_{Y_{1+2j}}(x).$$

En conseqüència, $J_{1}$ és una mixtura de distribucions$\chi _{1+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots$ amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$.

4t. pas. Càlcul de la funció de densitat de $J$ . Utilitzarem les propietats de la funció generatriu de moments (també es podria fer de manera anàloga amb les funcions característiques). Designarem per $M_{Y_{n}}$ la funció generatriu d'una variable aleatòria $Y_{n}\sim \chi _{n}^{2}$  :

$$M_{Y_{n}}(t)=E[e^{tY_{n}}]={\frac {1}{(1-2t)^{n/2}}},\quad t\in (-\infty ,1/2).$$

Escrivim

$$p_{j}=e^{-\lambda /2}\,{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}},\ j=0,1,\dots$$

els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$ . Per les propietats de les mixtures de distribucions, la funció generatriu de moments de $J_{1}$ és

$$M_{J_{1}}(t)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}M_{Y_{1+2j}}(t).$$

Donada la independència entre $J_{1}$ i $J_{2}$ (vegeu el primer pas), tindrem que

$$M_{J}(t)=M_{J_{1}}(t)\,M_{J_{2}}(t),$$

i atès que $J_{2}\sim \chi _{k-1}^{2}$, $M_{J_{2}}=M_{Y_{k-1}}$. Fent les operacions corresponents arribem a que

$$M_{J}(t)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}M_{Y_{k+2j}}(t).$$

Per tant, identifiquem una mixtura de distribucions$\chi _{k+2j}^{2},\ j=0,1,2,\dots$ amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$. Llavors, la funció de densitat de $J$ és

$$f_{J}(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,f_{Y_{k+2j}}(x).$$

Expressió alternativa de la funció de densitat. Si desenvolupem $f_{k+2j}$ tenim que la funció de densitat té l'expressió

$$f_{J}(x)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {x^{k/2+j-1}\,e^{-x/2}}{2^{k/2+j}\,\Gamma (k/2+j)}},$$

que es pot escriure

$$f_{J}(x)={\frac {1}{2}}\,e^{-(x+\lambda )/2}{\Big (}{\frac {x}{\lambda }}{\Big )}^{k/4-1/2}\,I_{k/2-1}({\sqrt {\lambda x}}),$$

on $I_{\alpha }(y)$ és la funció modificada de Bessel de primer tipus, que en aquest cas és

$$I_{k/2-1}(y)={\Big (}{\frac {y}{2}}{\Big )}^{k/2-1}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(y^{2}/4)^{j}}{j!\,\Gamma (k/2+j)}}.$$

Moments, funció generatriu de moments i funció característica

Els moments es poden calcular utilitzant les propietats de les mixtures de distribucions. Sigui $J\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )$ i $Y_{q}\sim \chi ^{2}(q)$. Designem per $p_{j}$ els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre $\lambda /2$:

$$p_{j}=e^{-\lambda /2}\,{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}},\ j=0,1,\dots$$

Aleshores, atès que una distribució khi-quadrat té moments de tots els ordres, tindrem que la distribució khi-quadrat no central també, i

$$E{\big [}J^{n}{\big ]}=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,E{\big [}Y_{k+2j}^{n}{\big ]}.$$

Per exemple, per a $n=1$, $E[Y_{q}]=q$ i llavors

$$E[J]=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}(k+2j)=k\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}+2\sum _{j=0}^{\infty }jp_{j}=k+2\,{\frac {\lambda }{2}}=k+\lambda .$$

La funció generatriu de moments també es pot calcular de la mateixa forma: Designem per $M_{Y}$ la funció generatriu de moments d'una variable aleatòria $Y$,

$$M_{Y}(t)=E[e^{tY}].$$

Si $Y_{q}\sim \chi ^{2}(q)$,

$$M_{Y_{q}}(t)={\frac {1}{(1-2t)^{q/2}}},\ t\in (-\infty ,1/2).$$

Llavors, per a $t\in (-\infty ,1/2)$,

$$M_{J}(t)=\sum _{j=0}^{\infty }p_{j}\,M_{k+2j}(t)=e^{-\lambda /2}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(\lambda /2)^{j}}{j!}}\,{\frac {1}{(1-2t)^{k/2+j}}}={\frac {e^{-\lambda /2}}{(1-2t)^{k/2}}}\,\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}\,{\bigg (}{\frac {\lambda }{2(1-2t)}}{\bigg )}^{j}={\frac {e^{\lambda t/(1-2t)}}{(1-2t)^{k/2}}}.$$

Anàlogament, la funció característica dóna

$$\varphi _{J}(t)={\frac {e^{i\lambda t/(1-2it)}}{(1-2it)^{k/2}}}.$$

Una propietat de les formes quadràtiques en variables normals

Aquesta propietat, que té interès per ella mateixa, és el fonament de la utilització de la distribució $\chi _{k}^{2}(\lambda )$ en l'estudi de la potència d'un test sobre la mitjana d'una població normal multivariable, segon veurem en un exemple.

Propietat. Considerem un vector aleatori normal multivariable ${\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ amb ${\text{det}}({\boldsymbol {\Sigma }})>0$. Aleshores :

1. ${\boldsymbol {(X-\mu )'\Sigma ^{-1}(X-\mu )}}\sim \chi _{k}^{2}$.
2. ${\boldsymbol {X'\Sigma ^{-1}X}}\sim \chi _{k}^{2}(\lambda )$, amb $\lambda ={\boldsymbol {\mu '\Sigma ^{-1}\mu }}$.

Prova

1. Existeix una única matriu definida positiva ${\boldsymbol {\Sigma }}^{1/2}$ tal que ${\boldsymbol {(}}\Sigma ^{1/2})^{2}={\boldsymbol {\Sigma }}$ anomenada arrel quadrada de ${\boldsymbol {\Sigma }}$; designem per ${\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}$ la seva inversa . Per les propietats de les lleis normals multivariables,

$${\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}{\big (}{\boldsymbol {X}}-{\boldsymbol {\mu }}{\big )}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {0}},{\boldsymbol {I}}_{d}).$$

Llavors,

$${\boldsymbol {(X-\mu )'\Sigma ^{-1}(X-\mu )}}={\boldsymbol {U'U}}\sim \chi _{k}^{2}.$$

2. Ara definim

$${\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {\Sigma }}^{-1/2}{\boldsymbol {X}}\sim {\mathcal {N}}_{d}({\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu }},{\boldsymbol {I}}_{d}).$$

Llavors,

$${\boldsymbol {X'\Sigma ^{-1}X}}={\boldsymbol {V'V}}\sim \chi _{k}^{2}(\lambda ),$$

amb

$$\lambda ={\bigg (}{\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu }}{\bigg )}'{\bigg (}{\boldsymbol {\Sigma ^{-1/2}\mu }}{\bigg )}={\boldsymbol {\mu '\Sigma ^{-1}\mu }}.$$

Exemple. Muirhead . Considerem un contrast d'hipòtesis sobre la mitjana d'una població normal multivariable amb matriu de variàncies-covariàncies coneguda. Sigui ${\boldsymbol {X}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {X}}_{n}$ una mostra d'una distribució ${\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$. Llavors

$${\overline {\boldsymbol {X}}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {X}}_{i}\sim {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }},\,{\frac {1}{n}}{\boldsymbol {\Sigma }}).$$

Fixem ${\boldsymbol {\mu }}_{0}\in \mathbb {R} ^{k}$. Anem a fer el contrast

$${\text{H}}_{0}:\ {\boldsymbol {\mu }}={\boldsymbol {\mu }}_{0}\quad {\text{contra}}\quad {\text{H}}_{1}:\ {\boldsymbol {\mu }}\neq {\boldsymbol {\mu }}_{0}.$$

Com a estadístic de contrast utilitzarem

$$W={\boldsymbol {(X-\mu _{0})'\Sigma ^{-1}(X-\mu _{0})}}.$$

Fixem un nivell de significació del test $\alpha .$ Atès que, per la primera part de la propietat anterior, sota ${\text{H}}_{0}$ , $W\sim \chi _{k}^{2}$ , rebutjarem ${\text{H}}_{0}$ si

$$W>C_{\alpha },$$

on $C_{\alpha }$ és el nombre tal que

$$P(\chi _{k}^{2}>C_{\alpha })=\alpha .$$

Si ${\text{H}}_{0}$ no és veritat,

$${\overline {\boldsymbol {X}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0}\sim {\mathcal {N}}_{k}({\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {\mu }}_{0},\,{\frac {1}{n}}{\boldsymbol {\Sigma }}).$$

Per tant, per la segona part de la propietat anterior,

$$W\sim \chi _{k}^{2}(\lambda ),\quad {\text{amb}}\quad \lambda =n({\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {\mu }}_{0}).$$

Per tant, la potència del test és funció de $\lambda$:

$$\beta (\lambda )=P_{\lambda }(W>C)=P{\big (}\chi _{k}^{2}(\lambda )>C_{\alpha }{\big )}.$$