Vés al contingut

Usuari:Freutci/chiNoCentrada

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure


Càlcul de la funció de densitat

EEl càlcul de la funció de densitat és laboriós i el separarem en 4 passos: Sigui .


1r. pas. Demostrarem la descomposició on , , i són independents, i vol dir igualtat en distribució o llei (vegeu la pàgina Variable aleatòria).

2n. pas. Calcularem una primera versió de la funció de densitat de .

3r. pas. Reescriurem la funció de densitat que hem trobat al pas anterior i identificarem una mixtura de distribucions amb diferents graus de llibertat i pesos de Poisson.

4t. pas. Ajuntant els passos 1 i 3 deduirem la densitat de .

1r. pas. Escrivim El nostre objectiu és veure que tenim on , i llavors definirem Partim de les variables independents, amb . Considerem el vector aleatori normal multidimensional on vol dir la transposada de la matriu o vector , i és la matriu identitat de dimensió . Notem que Considerem una matriu ortogonal tal que la seva primera fila sigui . Aquesta matriu pot construir-se partint del vector , ampliant-ho a una base de , ortonormalitzant la base pel procediment d'ortogonaització de Gramm-Schmidt i utilitzant aquests vectors com a files de la matriu. Sigui Llavors, per l'ortogonalitat de la matriu , d'on s'obté l'expressió (1).

2n. pas. Càlcul d'una primera versió de la funció de densitat de . La variable aleatòria és la transformació d'una variable mitjançant la funció donada per ; però aquesta funció no és bijectiva i cal separ-la en dues parts bijectives:definides ambdues per Les inverses respectives són Aleshores la funció de densitat de és 3r. pas. Identificació de la distribució de com una mixtura de distribucions amb pesos donats per una distribució de Poisson.

Designarem per la funció de densitat d'una distribució . Notem que per una distribució tenim D'altra banda, el desenvolupament en sèrie de Taylor del cosinus hiperbòlic és Aleshores, Per tant, En conseqüència, és una mixtura de distribucions amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre .

4t. pas. Càlcul de la funció de densitat de . Utilitzarem les propietats de la funció generatriu de moments (també es podria fer de manera anàloga amb les funcions característiques). Designarem per la funció generatriu d'una variable aleatòria  :Escrivim els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre . Per les propietats de les mixtures de distribucions, la funció generatriu de moments de és Donada la independència entre i (vegeu el primer pas), tindrem que i atès que , . Fent les operacions corresponents arribem a que

Per tant, identifiquem una mixtura de distribucions amb pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre . Llavors, la funció de densitat de és

Expressió alternativa de la funció de densitat. Si desenvolupem tenim que la funció de densitat té l'expressióque es pot escriure on és la funció modificada de Bessel de primer tipus, que en aquest cas és

Moments, funció generatriu de moments i funció característica

[modifica]

Els moments es poden calcular utilitzant les propietats de les mixtures de distribucions. Sigui i . Designem per els pesos donats per una distribució de Poisson de paràmetre : Aleshores, atès que una distribució khi-quadrat té moments de tots els ordres, tindrem que la distribució khi-quadrat no central també, i Per exemple, per a , i llavors La funció generatriu de moments també es pot calcular de la mateixa forma: Designem per la funció generatriu de moments d'una variable aleatòria , Si , Llavors, per a ,Anàlogament, la funció característica dóna

Una propietat de les formes quadràtiques en variables normals

[modifica]

Aquesta propietat, que té interès per ella mateixa, és el fonament de la utilització de la distribució en l'estudi de la potència d'un test sobre la mitjana d'una població normal multivariable, segon veurem en un exemple.

Propietat. Considerem un vector aleatori normal multivariable amb . Aleshores [1]:

  1. .
  2. , amb .

Exemple. Muirhead [1] . Considerem un contrast d'hipòtesis sobre la mitjana d'una població normal multivariable amb matriu de variàncies-covariàncies coneguda. Sigui una mostra d'una distribució . Llavors Fixem . Anem a fer el contrast Com a estadístic de contrast utilitzarem Fixem un nivell de significació del test Atès que, per la primera part de la propietat anterior, sota , , rebutjarem si on és el nombre tal que Si no és veritat, Per tant, per la segona part de la propietat anterior, Per tant, la potència del test és funció de :

  1. 1,0 1,1 Muirhead, Robb John. Aspects of multivariate statistical theory. Hoboken, N.J: Wiley-Interscience, 2005, p. 26-27. ISBN 978-0-471-76985-9. 
  2. Seber, George Arthur Frederick. A matrix handbook for statisticians. Hoboken (N.J.): J. Wiley, 2008, p. 221. ISBN 978-0-471-74869-4. 
  3. No hi ha ambigüitat en la notació ja que . Vegeu la referència anterior Seber, 2008, pàgina 221, item 10.8 (f)