Usuari:Freutci/singular

Sigui $(E,{\mathcal {E}})$ espai mesurable, és a dir, $E$ és un conjunt arbitrari i ${\mathcal {E}}$ una $\sigma$-àlgebra sobre $E$. Es diu que dues mesures $\mu$ i $\nu$ sobre aquest espai són mútuament singulars si existeix un conjunt $A\in {\mathcal {E}}$ tal que

$$\mu (A)=0\quad {\text{i}}\quad \nu (A^{c})=0,$$

on $A^{c}=E\setminus A$ és el complementari de $A$. S'escriu $\nu \perp \mu$. En paraules, si una mesura pren valors en un conjunt que té mesura zero per l'altra mesura i recíprocament. Malgrat la simetria de la definició, és molt habitual dir que la mesura $\nu$ és singular respecte $\mu$.

Quan la mesura $\nu$ és una probabilitat, és a dir, $\nu (E)=1$ , és diu que és una distribució singular respecte de $\mu$ . Un cas especialment important és quan $E=\mathbb {R}$ , $\nu$ és una probabilitat i $\mu$ és la mesura de Lebesgue, que designarem per $\lambda$.

Exemples.

1. Sigui $\nu$ la distribució de Poisson, que pren valors sobre els nombres natural $\mathbb {N} =\{0,1,2\dots \}$. Llavors $\nu \perp \lambda$, ja que

$$\nu (\mathbb {N} ^{c})=0\quad {\text{i}}\quad \lambda (\mathbb {N} )=0.$$

$\mu (A)=0$.

En general, totes les distribucions discretes són singulars amb la mesura de Lebesgue.

2. Però és realment notable l'existència de distribucions de probabilitat que prenen valors en un conjunt amb la potència del continu (és a dir, amb el mateix cardinal que $\mathbb {R}$) i que són singulars respecte a la mesura de Lebesgue, com la distribució de Cantor.

Mesura absolutament contínua respecte d'una altra

La noció antitètica amb la singularitat és la continuïtat absoluta :

És diu que una mesura $\nu$ és absolutament contínua respecte $\mu$ si per qualsevol $A\in {\mathcal {E}}$ tal que $\mu (A)=0$ tenim que $\nu (A)=0$. S'escriu $\nu \ll \mu$.

Tal com diu Halmos, la singularitat entre dues mesures és una forma extrema de no continuïtat absoluta.

Exemple. Sigui $f:E\to \mathbb {R}$ una funció mesurable no negativa, $f\geq 0$. Definim la funció de conjunt

$$\nu (A)=\int _{A}f\,d\mu ,\qquad A\in {\mathcal {E}}.$$

Aleshores $\nu$ és una mesura i $f$ s'anomena la seva funció de densitat. A més, atès que la integral sobre un conjunt de mesura $\mu$ zero és zero, tindrem que

$$\mu (A)=0\quad \Longrightarrow \quad \nu (A)=0,$$

i per tant $\nu$ és absolutament contínua respecte $\mu$.

Per concretar més l'exemple, siguin $E=\mathbb {R}$, ${\mathcal {E}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ és la $\sigma$-àlgebra de Borel sobre $\mathbb {R}$ i $\mu =\lambda$ la mesura de Lebesgue. Sigui $\nu$ la distribució normal estàndard ${\mathcal {N}}(0,1)$, és a dir, la mesura definida per

$$\nu (A)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{A}e^{-x^{2}/2}\,dx,\quad A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ).$$

Aleshores $\nu \ll \lambda$.

Nota. El famós teorema de Radon-Nikodym estableix el recíproc de l'exemple anterior, sotmès a que les mesures implicades siguin $\sigma$-finites.

Descomposició de Lebesgue

Sigui $(E,{\mathcal {E}},\mu )$ un espai de mesura tal $\mu$ que sigui $\sigma$-finita. Considerem una altra mesura $\nu$ $\sigma$-finita. Aleshores existeixen dues mesures (úniques) $\nu _{s}$ i $\nu _{ac}$ , amb $\nu _{s}\perp \mu$ i $\nu _{ac}\ll \mu$, tals que

$$\nu =\nu _{s}+\nu _{ac}.$$

Vegeu Royden .

Parts discreta i contínua d'una distribucions de probabilitat a $\mathbb {R} ^{n}$

Aplicant la nomenclatura de les mesures sobre $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ a una distribucions de probabilitat $p$ sobre $\mathbb {R} ^{n}$, es diu que és

• discreta si existeix un conjunt finit o numerable $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ tal que $p(C)=1$.
• contínua si $p\{x\}=0$ per a qualsevol $x\in \mathbb {R} ^{n}$.
• singular si existeix un conjunt $C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que $p(C)=1$ i $\lambda _{n}(C)=0$ on $\lambda _{n}$ és la mesura de Lebesgue a $\mathbb {R} ^{n}$.
• absolutament contínua si per qualsevol conjunt $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que $\lambda _{n}(B)=0$, tenim que $p(B)=0$.

D'acord amb el Teorema de Radon-Nikodym, si $p$ és absolutament contínua, aleshores existeix una funció $f:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )$ mesurable tal que

$$p(A)=\int _{A}f\,d\lambda _{n},\qquad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}).$$

La funció $f$ s'anomena la funció de densitat de $p$.

Si (respectivament, $\mu _{cs}\neq 0$ i $\mu _{ac}\neq 0$) llacors $\mu _{d}$ (respectivament , $\mu _{cs}$ o $\mu _{ac}$) s'anomena la part discreta (resp. la part contínua singular o la part absolutament contínua de) de $\mu$

Distribucions singulars. Parts discreta i contínua d'una distribució de probabilitat a $\mathbb {R} ^{n}$

Recordem la nomenclatura estàndard de les mesures sobre $(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$ : una mesura $\mu$ es diu que és

• discreta si existeix un conjunt finit o numerable $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ tal que $\mu (C^{c})=0$, on $C^{c}=\mathbb {R} ^{n}\setminus C$ és el complementari del conjunt $C$.
• contínua si $\mu \{x\}=0$ per a qualsevol $x\in \mathbb {R} ^{n}$.
• singular si existeix un conjunt $C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que $\mu (C^{c})=0$ i $\lambda _{n}(C)=0$ on $\lambda _{n}$ és la mesura de Lebesgue a $\mathbb {R} ^{n}$.
• absolutament contínua si per qualsevol conjunt $B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que $\lambda _{n}(B)=0$, tenim que $\mu (B)=0$.

Quan $\mu$ és discreta (respectivament absolutament contínua) també es diu que és purament discreta (resp. purament absolutament contínua). Cal notar que les definicions de continuïtat i singularitat no són incompatibles, sinó que hi ha mesures alhora contínues i singulars; la distribució de Cantor n'és un exemple. Una mesura contínua i singular es diu que és purament contínua singular.
Descomposició de mesures. Existeixen tres mesures, $\mu _{d}$ discreta, $\mu _{cs}$ contínua singular i $\mu _{ac}$ absolutament contínua tals que

$$\mu =\mu _{d}+\mu _{cs}+\mu _{ac}.$$

Aquestes mesures són úniques. La mesura $\mu _{d}$ (respectivament $\mu _{cs}$ i $\mu _{ac}$) s'anomenen la part discreta (resp. part contínua singular i part absolutament contínua) de $\mu$. La mesura $\mu _{cs}+\mu _{ac}$ s'anomena la part contínua de $\mu$ . Òbviament, aquestes mesures poden ser nul·les: per exemple, si $\mu$ és discreta, aleshores $\mu =\mu _{d}$ i $\mu _{cs}=\mu _{ac}=0$ .
Finalment, d'acord amb el Teorema de Radon-Nikodym, si $\mu$ és $\sigma$-finita (en particular, si és finita), aleshores existeix una funció $f:\mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )$ mesurable tal que

$$\mu _{ac}(A)=\int _{A}f\,d\lambda _{n},\qquad \forall A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}).$$

La funció $f$ s'anomena la funció de densitat de $\mu _{ac}$.
Adaptació a les distribucions de probabilitat. Totes aquestes definicions i propietats s'adapten directament al cas de les distribucions de probabilitat sobre $\mathbb {R} ^{n}$. Així, per exemple, es diu que una distribució de probabilitat $p$ sobre $\mathbb {R} ^{n}$ és una distribució discreta si existeix un conjunt finit o numerable $C\subset \mathbb {R} ^{n}$ tal que $p(C)=1$. O que és una distribució singular si existeix un conjunt $C\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ tal que $p(C)=1$ i $\lambda _{n}(C)=0$.