Usuari:Mcapdevila/Integral el·líptica de primera espècie

Aquest article tenia importants deficiències de traducció i ha estat traslladat a l'espai d'usuari.
Podeu millorar-lo i traslladar-lo altra vegada a l'espai principal quan s'hagin resolt aquestes mancances. Col·laboreu-hi!

Una integral el·líptica de primera espècie és un cas particular de la integral el·líptica. Hi ha integrals el·líptiques de primera espècie, completes i incompletes. Les primeres depenen d'una sola variable i les segones depenen de dues variables.

Integral el·líptica completa de primera espècie[modifica]

La integral el·líptica completa de primera espècie K es defineix com:

$K(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{1}{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-x^{2}v^{2})}}}$

i pot calcular mitjançant la mitjana aritmètica geomètrica, o mitjançant la sèrie de Taylor:

$K(x)={\frac {\pi }{2}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}x^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}x^{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}x^{6}+\dots \right]$

La sèrie anterior convergeix per $|x|<1\;$ .

El mètode de la mitjana aritmètica geomètrica té l'avantatge que genera una sèrie que convergeix de forma extremadament ràpida. Per aplicar només cal inicialitzar l'algorisme de la mitjana aritmètica geomètrica amb els següents valors:

$a_{0}=1\quad {\mbox{i}}\quad g_{0}={\sqrt {1-x^{2}}}$

K (x) s'obté a partir de l'enèsim valor a _n mitjançant:

$K(x)\approx {\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {1}{a_{n}}}$

Normalment n'hi ha prou amb computar els 5 o 6 primers termes de la sèrie per aconseguir una precisió en el resultat suficient per a qualsevol ús pràctic. Aconseguir el mateix, per exemple, amb la sèrie de Taylor, requeriria calcular un nombre molt superior, sobretot segons|x|s'acosta a 1.

Integral el·líptica incompleta de primera espècie[modifica]

La integral el·líptica incompleta de primera espècie F es defineix com:

$u=F(x,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-x^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {dv}{\sqrt {(1-v^{2})(1-x^{2}v^{2})}}}=F_{x}(\varphi )$

En aquest cas el paràmetre $\varphi =am(o)$ s'anomena "amplitud" i si es pren x com un paràmetre. Aquesta "amplitud" ve donada per la inversa de la funció anterior F . Les funcions el·líptiques de Jacobi es defineixen a partir d'aquesta amplitud.

Transformació de Landen[modifica]

La transformació de Landen permet expressar integrals el·líptiques incompletes d'un paràmetre en integrals el·líptiques d'un altre paràmetre diferent. Pot provar que si definim una nova amplitud φ ₁ i un nou paràmetre k ₁, relacionades amb l'antiga amplitud φ i l'antic paràmetre k mitjançant:

$k_{1}={\frac {2{\sqrt {k}}}{1+k}}\qquad \tan \varphi ={\frac {\sin 2\varphi _{1}}{k+\cos 2\varphi _{1}}}$

Llavors hi ha una relació simple entre les integrals el·líptiques incompletes associades als paràmetres ( k ₁, φ ₁) i ( k , φ) donada per:

$F(k,\varphi )=\int _{0}^{\varphi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{1+k}}\int _{0}^{\varphi _{1}}{\frac {d\theta _{1}}{\sqrt {1-k_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}}}}$

Aquest resultat pot aplicar iterativament per calcular les integrals el·líptiques incompletes en termes de funcions elementals i límits. Si definim les successions:

$k_{i}={\frac {2{\sqrt {k_{i+1}}}}{1+k_{i}}}\qquad \tan \varphi _{i}={\frac {\sin 2\varphi _{i+1}}{k+\cos 2\varphi _{i+1}}}$

Aleshores tenim que:

$F(k_{0},\varphi _{0})={\sqrt {\frac {k_{1}k_{2}k_{3}\dots }{k_{0}}}}\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\sqrt {\frac {k_{1}k_{2}k_{3}\dots }{k_{0}}}}\ln \tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)$

On:

\phi =\lim _{k\to \infty }\varphi _{k}

Vegeu també[modifica]