Vector d'ona

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

El vector d'ona és un vector que apunta en la direcció de propagació de l'ona en qüestió i la magnitud és el nombre d'ona. La seva expressió en matemàtica és:


 \bold{k}= k \bold{o}= \frac{2 \pi}{\lambda}\bold{o}

on  \vec{o} és l'adreça de la propagació de l'ona. D'aquesta manera, per a una ona genèrica hem de:


 \phi (\bold{r}, t) = \phi (\bold{k}\cdot \bold{r}- \omega t) =
\phi (k_xx+k_yy+k_zz - \omega t)

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Transversalitat de les ones electromagnètiques planes[modifica | modifica el codi]

El formalisme mitjançant el vector d'ona permet veure ràpidament que les ones electromagnètiques planes són transversals, és a dir, l'oscil·lació del camp elèctric i magnètic és perpedincular a la direcció de propagació de l'ona i perpendiculars entre si.

Per demostrar això considerem, sense pèrdua de generalitat, una ona electromagnètica plana de la forma:


 \bold{E}(\bold{r}, t) = \bold{E_0}e^{i (\bold{k}\cdot \bold{r}- \omega t)},
\qquad \bold{B}(\bold{r}, t) = \bold{B_0}e^{i (\bold{k}\cdot \bold{r}- \omega t)}

Suposant una regió de l'espai sense densitat de càrrega  \scriptstyle \rho = 0 , la llei de Gauss per la divergència del camp elèctric ens porta a que:


 \boldsymbol \nabla \cdot \bold{E}= i \bold{k}\cdot \bold{E_0}=
\frac{\rho}{\epsilon_0}= 0

D'on obtenim la perpendicularitat entre el camp elèctric i la direcció de propagació:

(*)

 \bold{\hat{o}}\cdot \bold{E_0}= 0 \rightarrow \bold{\hat{o}}\cdot \bold{E}= 0
\qquad \rightarrow \qquad \bold{E}\ \bot \ \bold{\hat{o}}

Usant ara la llei de Faraday per el rotacional del camp elèctric tenim:

(**)

 \boldsymbol \nabla \times \bold E = i \bold k \times \bold E
= - \frac{\part \bold B}{\part t}= i \omega \bold B

De(**), per les propietats del producte vectorial, es dedueix:

 \bold{\hat o}\ \bot \ \bold B

Per tant de les expressions(*)i(**)pot concloure que el camp elèctric és perpendicular al vector d'ona, i per tant a la direcció de propagació, i que el camp magnètic és perpendicular tant a la direcció de propagació com al camp elèctric, formant els vectors  \scriptstyle \{\bold k, \bold E, \bold B \} formen un triedre que en cada punt de l'espai constitueix una base vectorial.

Nota[modifica | modifica el codi]