Transformada discreta de Chebyshev

En matemàtiques aplicades, una transformada discreta de Chebyshev (DCT) és un anàleg de la transformada discreta de Fourier per a una funció d'un interval real, convertint en qualsevol direcció entre els valors de la funció en un conjunt de nodes de Chebyshev i coeficients d'una funció en base polinomial de Chebyshev. Igual que els polinomis de Chebyshev, rep el nom de Pafnuty Chebyshev.

Els dos tipus més comuns de transformades discretes de Chebyshev utilitzen la graella de zeros de Chebyshev, els zeros dels polinomis de Chebyshev del primer tipus. $T_{n}(x)$ i la graella de Chebyshev extrema, l'extrem dels polinomis de Chebyshev del primer tipus, que també són els zeros dels polinomis de Chebyshev del segon tipus $U_{n}(x)$. Ambdues transformacions donen lloc a coeficients de polinomis de Chebyshev del primer tipus.

Altres transformacions discretes de Chebyshev impliquen quadrícules i coeficients relacionats de polinomis de Chebyshev del segon, tercer o quart tipus.

Transformació discreta de Chebyshev a la graella d'arrels

La transformada discreta de Chebyshev de u(x) en els punts ${x_{n}}$ ve donada per:

$a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})T_{m}(x_{n})$

on:

$x_{n}=-\cos \left({\frac {\pi }{N}}(n+{\frac {1}{2}})\right)$

$a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})\cos \left(m\cos ^{-1}(x_{n})\right)$

on $p_{m}=1\Leftrightarrow m=0$ i $p_{m}=2$ altrament.

Utilitzant la definició de $x_{n}$ ,

$a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})\cos \left({\frac {m\pi }{N}}(N+n+{\frac {1}{2}})\right)$

$a_{m}={\frac {p_{m}}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}u(x_{n})(-1)^{m}\cos \left({\frac {m\pi }{N}}(n+{\frac {1}{2}})\right)$

i la seva transformada inversa:

$u_{n}=\sum _{m=0}^{N-1}a_{m}T_{m}(x_{n})$

Això es pot demostrar amb el següent codi MATLAB :

function a=fct(f, l)
% x =-cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2));

f = f(end:-1:1,:);
A = size(f); N = A(1); 
if exist('A(3)', 'var') && A(3)~=1
    for i=1:A(3)
        a(:,:,i) = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));
        a(1,:,i) = a(1,:,i) / sqrt(2);
    end
else
    a = sqrt(2/N) * dct(f(:,:,i));
    a(1,:)=a(1,:) / sqrt(2);
end

De fet, la transformada discreta del cosinus (dct) es calcula utilitzant un algorisme ràpid de transformada de Fourier a MATLAB. I la transformada inversa ve donada pel codi MATLAB:

function f=ifct(a, l)
% x = -cos(pi/N*((0:N-1)'+1/2)) 
k = size(a); N=k(1);

a = idct(sqrt(N/2) * [a(1,:) * sqrt(2); a(2:end,:)]);

end