Distribució del semicercle de Wigner

La distribució del semicercle de Wigner, o senzillament distribució del semicercle, va ser introduïda pel físic hongarès-americà Eugene Wigner (1902-1995) en relació amb la distribució asimptòtica dels valors propis de certes matrius aleatòries simètriques.

Funció de densitat i moments

La funció de densitat de la distribució del semicercle és

$$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {4-x^{2}}},&{\text{si}}\ x\in [-2,2],\\0,&{\text{en cas contrari.}}\\\end{cases}}$$

Correspon a una distribució beta amb quatre paràmetres amb $\alpha =\beta =3/2$, i $a=-2\ {\text{i}}\ b=2$ . El gràfic d'aquesta densitat és una semi-el·lipse, vegeu la la Figura 1.

Figura 1. Funció de densitat de la distribució del semicercle

Aquesta distribució té moments de tots els ordres. Si designem per $m_{k}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,f(x)\,dx$ el moment d'ordre $k$, tenim que

$$m_{k}={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ k\ {\text{és senar}},\\C_{n},&{\text{si}}\ k=2n,\end{cases}}\qquad (1)$$

on

$$C_{n}={\frac {(2n)!}{(n+1)!\,n!}}$$

és l'$n$-èsim nombre de Catalan. Compareu aquests moments amb els d'una distribució normal estàndard. En particular, si $X$ té distribució del semicercle, llavors

$$E[X]=0\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(X)=1.$$

Prova

Els moments d'ordre senar són zero degut a la simetria respecte 0 de la funció de densitat. Pel cas parell, es redueix la integral a una funció beta. En primer lloc, per simetria,

$$m_{2n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-2}^{2}x^{2n}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2}x^{2n}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx.$$

Ara es fa en canvi de variables $x=2{\sqrt {y}}$. Aleshores, $m_{2n}={\frac {2^{2n+1}}{\pi }}\int _{0}^{1}y^{m-1/2}(1-y)^{1/2}\,dy={\frac {2^{2n+1}}{\pi }}\,{\text{B}}(m+1/2,3/2)={\frac {2^{2n+1}}{\pi }}\,{\frac {\Gamma (m+1/2)\,\Gamma (3/2)}{\Gamma (m+2)}}=C_{n}.$

La destribució del semicercle està determinada pels moments, això és, si tenim una distribució de probabilitat que té els moments (1), aleshores és la distribució del semicercle. Això es degut a que la distribució del semicercle té suport compacte .

Funció generatriu de moments, funció característica i transformada de Stieltjes

La distribució del semicercle té funció generatriu de moments en tot $\mathbb {R}$,

$$M(t)={\frac {1}{t}}I_{1}(2t),\quad t\in \mathbb {R} ,$$

on $I_{1}$ és la funció de Bessel modificada amb $\nu =1$.

La funció característica val

$$\varphi (t)={\frac {1}{t}}J_{1}(2t),\quad t\in \mathbb {R} ,$$

on $J_{1}$ és la funció de Bessel amb $\nu =1$.

Prova

La funció generatriu de moments és

$$M(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-2}^{2}e^{tx}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx={\frac {2}{\pi }}\int _{-1}^{1}e^{2ut}{\sqrt {1-u^{2}}}\,du={\frac {1}{t}}I_{1}(2t),$$

on hem aplicat el canvi $x=2u$ i després la relació amb la funció modificada de Bessel amb $\nu =1$
La funció característica es calcula de manera similar:

$$\varphi (t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-2}^{2}e^{itx}{\sqrt {4-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-2}^{2}\cos(tx){\sqrt {4-x^{2}}}\,dx+{\frac {1}{2\pi }}i\int _{-2}^{2}\sin(tx){\sqrt {4-x^{2}}}\,dx={\frac {1}{t}}J_{1}(2t),$$

ja que la $\int _{-2}^{2}\sin(tx){\sqrt {4-x^{2}}}\,dx=0$ per raons de simetria, i fent el mateix canvi de variables que abans a la integral amb el cosinus, s'obté una integral que es redueix a una expressió en termes de la funció $J_{1}$ de Bessel amb $\nu =1$ .

Per estudiar les propietats de les matrius aleatòries, s'utlitza la transformada de Stieltjes. La transformada de Stieltjes d'una probabilitat $p$ a $\mathbb {R}$ es defineix per

$$s(z)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {1}{x-z}}\,dp(x),\quad z\in \mathbb {C} \setminus {\text{sup}}(p),$$

on ${\text{sup}}(p)$ és el suport de $p$; en particular, $s$ està ben definida en $\mathbb {C} \setminus \mathbb {R}$ . Si la probabilitat $p$ té densitat $g$, aleshores

$$s(z)=\int _{\mathbb {R} }{\frac {g(x)}{x-z}}\,dx.$$

La transformada de Stieltjes determina unívocament una distribució de probabilitat i té molt bones propietats respecte la convergència feble de probabilitats . La funció també s'anomena transformada de Cauchy .

La distribució del semicercle té transformada de Stieltjes donada per

$$s(z)=-{\frac {1}{2}}{\big (}z-{\sqrt {z^{2}-4}}),\quad z\in \mathbb {C} \setminus [-2,2].$$

Per a una demostració mitjançant càlcul de residus, vegeu Bai and Silverstein .

La distribució del semicercle i probabilitats lliures

La distribució dels semicercle té, en probabilitats lliures (free probability), un paper anàleg en molts aspectes al de la distribució normal. Per exemple, en el teorema central del límit per a variables lliures el límit és una distribució del semicercle . De la mateixa manera que la distribució normal estàndard està caracteritzada perquè tots els cumulants són zero, excepte el d'ordre 2 que val 1, la distribució del semicercle ho està pel fet que tots els cumulants lliures són zero excepte el d'ordre 2 que és 1 .

Distribució del semicercle amb paràmetres

Diversos autors introdueixen una distribució del semicercle amb un o dos paràmetres. Cal dir que les notacions no són universals. La distribució del semicercle amb paràmetre $a\in \mathbb {R}$ i $R>0$ ve donada per la densitat

$$f(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi R^{2}}}{\sqrt {R^{2}-(x-a)^{2}}},&{\text{si}}\ x\in [a-R,a+R],\\\\0,&{\text{en cas contrari.}}\\\end{cases}}$$

La definició inicial que hem donat a la primera secció correspon als paràmetres $a=0$ i $R=2$. Designarem aquesta distribució per $w_{a,R}$. Quan $a=0$, llavors la denotarem per $w_{R}$.

Si $X$ és una variable aleatòria amb la distribució del semicercle, $X\sim w_{2}$ , aleshores $(R/2)X+a\sim w_{a,R}$ , la qual cosa permet deduir els moments, la funció generatriu de moments, etc. de la distribució $w_{a,R}$.

Estudiem amb més detall la distribució $w_{R}$: la seva densitat és

$$f(x)={\begin{cases}{\dfrac {2}{\pi R^{2}}}{\sqrt {R^{2}-x^{2}}},&{\text{si}}\ x\in [-R,R],\\\\0,&{\text{en cas contrari.}}\\\end{cases}}$$

Vegeu a la Figura 2 diverses densitats segons el paràmetre $R$.

Figura 2. Funció de densitat de la distribució del semicercle de $w_{R}$ amb paràmetre $R$

Aplicant que si $X\sim w_{2}$ , aleshores $(R/2)X\sim w_{R}$ , deduïm que el moment d'ordre $k$ de $w_{R}$ és

$$m_{k}^{(R)}={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ k\ {\text{és senar}},\\\\{\dfrac {R^{2n}}{2^{2n}}}\,C_{n},&{\text{si}}\ k=2n,\end{cases}}$$

En particular, si considerem una variable aleatòria $Y\sim w_{R}$ llavors,

$$E[Y]=0\quad {\text{i}}\quad {\text{Var}}(Y)={\frac {R^{2}}{2}}.$$

La funció generatriu de moments és

$$M_{R}(t)={\frac {2}{Rt}}I_{1}(Rt).$$

La funció característica val

$$\varphi _{R}(t)={\frac {2}{Rt}}J_{1}(Rt).$$