Distribució beta variada matricial: diferència entre les revisions

Contingut suprimit Contingut afegit

En línia

Revisió del 20:10, 8 jul 2023

En estadística, la distribució beta variada matricial és una generalització de la distribució beta. Si $U$ és un $p\times p$ matriu definida positiva amb una distribució beta variable de matriu, i $a,b>(p-1)/2$ són paràmetres reals, escrivim $U\sim B_{p}\left(a,b\right)$ (de vegades $B_{p}^{I}\left(a,b\right)$ ). La funció de densitat de probabilitat per $U$ és: ^[1]

$\left\{\beta _{p}\left(a,b\right)\right\}^{-1}\det \left(U\right)^{a-(p+1)/2}\det \left(I_{p}-U\right)^{b-(p+1)/2}.$

Aquí $\beta _{p}\left(a,b\right)$ és la funció beta multivariant: ^[2]

$\beta _{p}\left(a,b\right)={\frac {\Gamma _{p}\left(a\right)\Gamma _{p}\left(b\right)}{\Gamma _{p}\left(a+b\right)}}$

on $\Gamma _{p}\left(a\right)$ és la funció gamma multivariant donada per

$\Gamma _{p}\left(a\right)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{i=1}^{p}\Gamma \left(a-(i-1)/2\right).$

Distribució de la matriu inversa

Si $U\sim B_{p}(a,b)$ llavors la densitat de $X=U^{-1}$ està donat per ^[3]

${\frac {1}{\beta _{p}\left(a,b\right)}}\det(X)^{-(a+b)}\det \left(X-I_{p}\right)^{b-(p+1)/2}$

sempre que $X>I_{p}$ i $a,b>(p-1)/2$ . ^[4]

Referències

↑ Mathai, Arak; Provost, Serge; Haubold, Hans. Chapter 5: Matrix-Variate Gamma and Beta Distributions (en anglès). Cham: Springer International Publishing, 2022, p. 289–393. DOI 10.1007/978-3-030-95864-0_5. ISBN 978-3-030-95864-0.
↑ Dawid, A. P. «Some Matrix-Variate Distribution Theory: Notational Considerations and a Bayesian Application». Biometrika, 68, 1, 1981, pàg. 265–274. DOI: 10.2307/2335827. ISSN: 0006-3444.
↑ Mitra, Sujit Kumar «A Density-Free Approach to the Matrix Variate Beta Distribution». Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961-2002), 32, 1, 1970, pàg. 81–88. ISSN: 0581-572X.
↑ Nagar, A. K. Gupta, D. K.. Matrix Variate Dirichlet Distributions (en anglès). https://www.taylorfrancis.com.+ Chapman and Hall/CRC, 1999. DOI 10.1201/9780203749289-6/matrix-variate-dirichlet-distributions-gupta-nagar. ISBN 978-0-203-74928-9.

[1] Mathai, Arak; Provost, Serge; Haubold, Hans. Chapter 5: Matrix-Variate Gamma and Beta Distributions (en anglès). Cham: Springer International Publishing, 2022, p. 289–393. DOI 10.1007/978-3-030-95864-0_5. ISBN 978-3-030-95864-0.

[2] Dawid, A. P. «Some Matrix-Variate Distribution Theory: Notational Considerations and a Bayesian Application». Biometrika, 68, 1, 1981, pàg. 265–274. DOI: 10.2307/2335827. ISSN: 0006-3444.

[3] Mitra, Sujit Kumar «A Density-Free Approach to the Matrix Variate Beta Distribution». Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961-2002), 32, 1, 1970, pàg. 81–88. ISSN: 0581-572X.

[4] Nagar, A. K. Gupta, D. K.. Matrix Variate Dirichlet Distributions (en anglès). https://www.taylorfrancis.com.+ Chapman and Hall/CRC, 1999. DOI 10.1201/9780203749289-6/matrix-variate-dirichlet-distributions-gupta-nagar. ISBN 978-0-203-74928-9.

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Línia 1: / Línia 1: @@
-{{Distribució de probabilitat|imagen_fp=|cdf_image=|nom=Distribució beta variable de matriu}}En [[estadística]], la '''distribució beta variada matricial''' és una generalització de la [[distribució beta]]. Si <math>U</math> és un <math>p\times p</math> [[Matriu definida|matriu definida positiva]] amb una distribució beta variable de matriu, i <math>a,b>(p-1)/2</math> són paràmetres reals, escrivim <math>U\sim B_p\left(a,b\right)</math> (de vegades <math>B_p^I\left(a,b\right)</math> ). La [[funció de densitat de probabilitat]] per <math>U</math> és: <ref>{{Ref-web|url=https://people.eecs.berkeley.edu/~jordan/papers/zhang-etal-jmlr-2013.pdf|títol=Matrix-Variate Dirichlet Process Priors with Applications|consulta=8-7-2023|llengua=anglès|editor=https://people.eecs.berkeley.edu}}</ref>
+{{Distribució de probabilitat|imagen_fp=|cdf_image=|nom=Distribució beta variable de matriu}}En [[estadística]], la '''distribució beta variada matricial''' és una generalització de la [[distribució beta]]. Si <math>U</math> és un <math>p\times p</math> [[Matriu definida|matriu definida positiva]] amb una distribució beta variable de matriu, i <math>a,b>(p-1)/2</math> són paràmetres reals, escrivim <math>U\sim B_p\left(a,b\right)</math> (de vegades <math>B_p^I\left(a,b\right)</math> ). La [[funció de densitat de probabilitat]] per <math>U</math> és:  <ref>{{Ref-llibre|títol=Chapter 5: Matrix-Variate Gamma and Beta Distributions|url=https://doi.org/10.1007/978-3-030-95864-0_5|editorial=Springer International Publishing|data=2022|lloc=Cham|isbn=978-3-030-95864-0|pàgines=289–393|doi=10.1007/978-3-030-95864-0_5|llengua=anglès|nom=Arak|cognom=Mathai|nom2=Serge|cognom2=Provost|nom3=Hans|cognom3=Haubold}}</ref>
 <math>
@@ Línia 6: / Línia 6: @@
 </math>
-Aquí <math>\beta_p\left(a,b\right)</math> és la [[Multivariate beta function|funció beta multivariant]]: <ref>{{Ref-web|títol=Matrix Variate Distributions|url=https://www.routledge.com/Matrix-Variate-Distributions/Gupta-Nagar/p/book/9781584880462|consulta=8-7-2023|llengua=anglès|editor=https://www.routledge.com}}</ref>
+Aquí <math>\beta_p\left(a,b\right)</math> és la [[Multivariate beta function|funció beta multivariant]]:  <ref>{{Ref-publicació|article=Some Matrix-Variate Distribution Theory: Notational Considerations and a Bayesian Application|url=https://www.jstor.org/stable/2335827|publicació=Biometrika|data=1981|issn=0006-3444|pàgines=265–274|volum=68|exemplar=1|doi=10.2307/2335827|nom=A. P.|cognom=Dawid}}</ref>
 <math>
@@ Línia 12: / Línia 12: @@
 </math>
-on <math>\Gamma_p\left(a\right)</math> és la [[Funció gamma multivariada|funció gamma multivariant]] donada per <ref>{{Ref-web|url=https://people.eecs.berkeley.edu/~jordan/papers/zhang-dai-jordan-aistats10.pdf|títol=980Matrix-Variate Dirichlet Process Mixture Models|consulta=8-7-2023|llengua=anglès|editor=https://people.eecs.berkeley.edu}}</ref>
+on <math>\Gamma_p\left(a\right)</math> és la [[Funció gamma multivariada|funció gamma multivariant]] donada per
 <math>
@@ Línia 19: / Línia 19: @@
 == Distribució de la matriu inversa ==
-Si <math>U\sim B_p(a,b)</math> llavors la densitat de <math>X=U^{-1}</math> està donat per
+Si <math>U\sim B_p(a,b)</math> llavors la densitat de <math>X=U^{-1}</math> està donat per <ref>{{Ref-publicació|article=A Density-Free Approach to the Matrix Variate Beta Distribution|url=https://www.jstor.org/stable/25049638|publicació=Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A (1961-2002)|data=1970|issn=0581-572X|pàgines=81–88|volum=32|exemplar=1|nom=Sujit Kumar|cognom=Mitra}}</ref>
 <math>