Discussió:Funció bijectiva

Definició incorrecta d'una funció bijectiva

La segona definició és incorrecta, particularment la definició d'una funció injectiva ("tots els elements del conjunt origen tenen imatge") que significa simplement que la correspondència és una funció.

Una funció és injectiva si i només si dos elements diferents (qualssevol) del conjunt origen tenen imatges diferents, altrament dit, si i només si cap element del codomini no pot ser imatge de dos elements diferents del conjunt origen.

En notació matemàtica, una funció $f:A\to B$ és injectiva si i només si :

$\forall \,(x,y)\in A^{2},(x\neq y)\Rightarrow (f(x)\neq f(y))$

Per exemple, la funció $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$ compleix la condició "tots els elements del conjunt origen tenen imatge" perquè és una funció ; però no és injectiva : per exemple $f(2)=4,f(-2)=4,{\text{ i }}2\neq -2$.

Una redacció correcta seria :

O bé, una funció f és bijectiva si (i només si):

• cap element del codomini no pot ser imatge de dos elements diferents del conjunt origen (propietat injectiva)
• i al mateix temps tots els elements del codomini són imatge d’almenys un element del conjunt origen (propietat suprajectiva)

I a priori cal no confondre "codomini" amb "conjunt imatge", termes que no són sinònims (cf. el document següent [1] de la UPC).

El conjunt imatge d'una funció $f:A\to B$ és $f(A)=\{y\in B\mid \exists \,x\in A,f(x)=y\}$ ; en general $f(A)\neq B$. Per exemple, el conjunt imatge de la funció $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto x^{2}$ és $f(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{+}$ ; és diferent del codomini $\mathbb {R}$.

Se sap que la propietat suprajectiva es pot enunciar així : una funció $f:A\to B$ és suprajectiva si i només si el codomini B és idèntic al conjunt imatge $\ f(A)$.

--Vivarés (discussió) 16:40, 23 des 2007 (CET)

Altra confusió

La correcció del contribuïdor anònim (adreça IP 83.36.162.127) no té cap sentit, o si es prefereix no té cap pertinència. Si $f:A\to B$ és una funció, per tot element y de B, l'antiimatge de y és el conjunt següent :

$f^{-1}(\{y\})=\{x\in A\mid f(x)=y\}$

Per tant, és clar que si y, z són dos elements diferents de B, les dues antiimatges $\ f^{-1}(\{y\})$ i $\ f^{-1}(\{z\})$ són disjuntes (no tenen cap element comú : si $y\neq z$, no pot existir un element x de A que compleixi alhora $\ f(x)=y$ i $\ f(x)=z$) ; a fortiori les dues antiimatges són diferents : però això no té res a veure amb la propietat injectiva ; és una propietat de qualsevol funció (més generalment, les antiimatges de dos subconjunts disjunts del codomini B són dos subconjunts disjunts de A). --Vivarés (discussió) 11:29, 24 des 2007 (CET)

Versió correcta

La propietat injectiva significa que l'antiimatge de tot element del codomini és buida o té un sol element. Vivarés (discussió) 11:53, 24 des 2007 (CET)