Matrius de Pauli

Les matrius de Pauli deuen el seu nom a Wolfgang Ernst Pauli. Són matrius usades en física quàntica en el context del moment angular intrínsec o espín. Matemàticament, les matrius de Pauli constitueixen una base vectorial de l'àlgebra de Lie del grup especial unitari SU (2), actuant sobre la representació de dimensió 2.

Forma de les matrius

Compleixen les regles de commutació de l'àlgebra de Lie ${\mathfrak {su}}(2)$:

$\left[\sigma _{i},\sigma _{j}\right]=2i\ \epsilon _{ijk}\ \sigma _{k}$

En què:

$\epsilon _{ijk}\;$ és el Símbol de Levi-Civita (pseudotensor totalment antisimètric).

També satisfan la següent regla de anticommutació:

$\left\{\sigma _{i},\sigma _{j}\right\}=\sigma _{i}\sigma _{j}+\sigma _{j}\sigma _{i}=2\delta _{ij}I\$

Altres propietats importants són:

$\sigma _{x}^{2}=\sigma _{y}^{2}=\sigma _{z}^{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$

$\operatorname {det} (\sigma _{i})=-1$

$\operatorname {Tr} (\sigma _{i})=0$

Cas d'espín 1/2

Les matrius de Pauli són tres, igual que la dimensió de l'àlgebra del Lie del grup SU (2). La seua representació lineal més comú té la següent forma:

$\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Cas d'espín 1

Per abús de llenguatge se sol anomenar matrius de Pauli a altres representacions lineals diferents a les usades en el cas d'espín 1/2 anterior. Per exemple, per representar l'espín d'una partícula amb valor 1, es fa servir la representació lineal mitjançant matrius de 3x3, com es mostra en els casos següents:

$J_{x}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\qquad J_{y}={\frac {\hbar }{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}\qquad J_{z}=\hbar {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$

Cas d'espín 3/2

Anàlogament al cas anterior, per espín 3/2 és comú usar la següent representació:

$J_{x}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&{\sqrt {3}}&0&0\\{\sqrt {3}}&0&2&0\\0&2&0&{\sqrt {3}}\\0&0&{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\qquad J_{y}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}0&-i{\sqrt {3}}&0&0\\i{\sqrt {3}}&0&-2i&0\\0&2i&0&-i{\sqrt {3}}\\0&0&i{\sqrt {3}}&0\end{pmatrix}}\qquad J_{z}={\frac {\hbar }{2}}{\begin{pmatrix}3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}$

Aplicacions

Les matrius de Pauli tenen gran utilitat en mecànica quàntica. L'aplicació més coneguda és la representació de l'operador d'espín per a una partícula d'espín 1/2, com un electró, un neutró o un protó. Així l'observable que serveix per mesurar l'espín, o moment angular intrínsec, d'un electró a l'adreça i ve donat per l'operador autoadjunt:

${\hat {S}}_{i}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}$

En la representació convencional, els autoestables d'espín corresponen als vectors:

$\left\{|\uparrow \rangle =(1,0);|\downarrow \rangle =(0,1)\right\}$

Vegeu també

• Moment angular.
• Espín.
• Mecànica quàntica.
• Àlgebra de Lie.