Gran rombi-cosidodecàedre

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Gran rombi-cosidodecàedre
Cuboctaèdre
Tipus Políedre arquimedià
Cares Quadrats, hexàgons i decàgons
Elements :
 · Cares
 · Arestes
 · Vèrtex
 · Característica
 
62 (30 quadrats, 20 hexàgons i 12 decàgons)
180
120
2
Cares per vèrtex 3
Vèrtex per cara 4, 6 i 10
Simetries Ih
Dual Icosàedre hexakis
Propietats Semi-regular i convex

En geometria, el gran rombi-cosidodecàedre és un dels tretze políedres arquimedians.

Té 62 cares, 30 de les quals són quadrades, 20 hexagonals i 12 decagonals, 180 arestes i a cadascun dels seus 120 vèrtex i concorren una cara quadrada, una hexagonal i una decagonal.

Àrea i volum[modifica | modifica el codi]

Les fórmules per calcular l'àrea A i el volum V d'un gran rombi-cosidodecàedre tal que les seves arestes tenen longitud a són les següents:

A=30\left(1+\sqrt{2\left(4+\sqrt{5}+\sqrt{15+6\sqrt{6}}\right)}\right)a^2
V=\left(95+50\sqrt{5}\right)a^3

Esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes[modifica | modifica el codi]

Els radis R, r i \rho de les esferes circumscrita, inscrita i tangent a les arestes respectivament són:

\begin{align}
 & R=\frac{a\sqrt{31+12\sqrt{5}}}{2} \\ 
 & r=\frac{a\left( 105+6\sqrt{5} \right)\sqrt{31+12\sqrt{5}}}{241} \\ 
 & \rho =\frac{a\sqrt{31+12\sqrt{5}}}{2} \\ 
\end{align}

On a és la longitud de les arestes.

Dualitat[modifica | modifica el codi]

El políedre dual del gran rombi-cosidodecàedre és el icosàedre hexakis.

Desenvolupament pla[modifica | modifica el codi]

Desenvolupament pla del gran rombi-cosidodecàedre


Simetries[modifica | modifica el codi]

El grup de simetria del gran rombi-cosidodecàedre té 120 elements; el grup de les simetries que preserven les orientacions és el grup icosàedric  I \cong A_5 . Són els mateixos grups de simetria que per l'icosàedre i pel dodecàedre.

Políedres relacionats[modifica | modifica el codi]

El gran rombicosidodecàedre es pot obtenir truncant simultàniament els vèrtex i les arestes tant de l'icosàedre com del dodecàedre.

Les vint cares hexagonals i dels dotze cares decagonals del gran rombicosidodecàedre descansen sobre els plens de les cares d'un icosàedre i d'un dodecàedre respectivament. En canvi les trenta cares quadrades descansen sobre els mateixos plans que les cares d'un triacontàedre ròmbic, que és el políedre dual del icosidodecaedre.

EN altres paraules, unint els centres dels decàgons s'obté un icosàedre, unint els centres dels hexàgons s'obté un dodecàedre i unint els centres dels quadrats icosidodecàedre.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]

Bibliografia[modifica | modifica el codi]

  • H. M. Cundy & A. P. Rollett. I modelli matematici. Milà: Feltrinelli, 1974. 
  • Dedò, Maria. Forme, simmetria e topologia. Bolonya: Decibel & Zanichelli, 1999. ISBN 88-08-09615-7. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]