Llei de Wien

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Llei de Wien

La Llei de Wien és una llei de la física. Especifica que hi ha una relació inversa entre la longitud d'ona en què es produeix el pic d'emissió d'un cos negre i la seva temperatura.

\lambda_\mbox{màx}=\frac{0,0028976\ \mbox{m}\cdot\mbox{K}}{T}

on  T és la temperatura del cos negre a Kelvin (K) i \lambda_\mbox{màx} és la longitud d'ona del pic d'emissió en metres .

Les conseqüències de la llei de Wien és que com més gran sigui la temperatura d'un cos negre menor és la longitud d'ona en la qual emet. Per exemple, la temperatura de la fotosfera sol ar és de 5.780 K i el pic d'emissió es produeix a 475 nm = 4,75 · 10 -7 m Com 1 angstrom 1 Å = 10 -10 m = 10 -4 micres resulta que el màxim passa a 4.750 Å . Com el rang visible s'estén des de 4.000 Å a 7.400 Å, aquesta longitud d'ona cau dins de l'espectre visible sent un to de verd. No obstant això, a causa de la Difusió de Rayleigh de la llum blava per l'atmosfera, la component blava es separa distribuint per la volta celest i el Sol apareix groguenc.

Deducció de la Llei de Wien[modifica | modifica el codi]

La constant c de Wien aquesta donada en Kelvin x metre.

Aquesta llei va ser formulada empíricament per Wilhelm Wien. No obstant això, avui es dedueix de la llei de Planck per a la radiació d'un cos negre de la següent manera:

 E (\lambda, T) ={C_1\over\lambda^5\cdot (e^{C_2\over\lambda\cdot T}-1)}={C_1\cdot\lambda^{-5}\over (i^{C_2\over\lambda\cdot T}-1)}

on les constants valen al Sistema Internacional d'Unitats o sistema MKS:

 C_1 = 8\pi hc = 4,99589\cdot 10^{-24}\ \mbox{J}\cdot\mbox{m}
 C_2 ={hc\over k}= 1,4385\cdot 10^{-2}\ \mbox{m}\cdot\mbox{K}= 1,4385\cdot 10^4\ \mu\mbox{m}\cdot\mbox{K}

Per trobar el màxim la derivada de la funció pel que fa a \lambda ha de ser zero.

{\partial (E (\lambda, T))\over\partial\lambda}= 0

N'hi ha prou amb utilitzar la regla de derivació del quocient i com s'ha d'igualar a zero, el numerador de la derivada serà nul és a dir:

\frac{C_2}{\lambda\cdot T}= 5\cdot (1-e^{-C_2\over\lambda\cdot T})

Si definim

 x\equiv{C_2\over\lambda T}

llavors

{x\over 1-e^{-x}}-5 = 0

Aquesta equació no es pot resoldre mitjançant funcions elementals. Com una solució exacta no és important podem optar per solucions aproximades. Es pot trobar fàcilment un valor aproximat per  x :

Si x és gran és que aproximadament  e^{-x}= 0\, així que x aquesta prop de 5. Així que aproximadament  x = 5 (1-e^{-5}) = 4,9663\, .

Utilitzant el mètode de Newton o de la tangent:

 x = 4,965114231744276\ldots

De la definició de x resulta que:

\lambda_{\max}\cdot T =\frac{C_2}{x}=\frac{1,4385\cdot 10^4}{4,965114231744276}= 2897,6\mu m K

Així que la constant de Wien és  2.897,6\mu m\cdot K per la qual cosa:

\lambda_{\max}\cdot T = 2897,6\mu m\cdot K