Prova d'intercanvi

Circuit que implementa la prova d'intercanvi entre dos estats $|\phi \rangle$ i $|\psi \rangle$

La prova d'intercanvi és un procediment de càlcul quàntic que s'utilitza per comprovar quant difereixen dos estats quàntics, que apareix per primera vegada al treball de Barenco et al. i posteriorment redescoberta per Harry Buhrman, Richard Cleve, John Watrous i Ronald de Wolf. Apareix habitualment en l'aprenentatge automàtic quàntic i és un circuit utilitzat per a proves de concepte en implementacions d'ordinadors quàntics.

Formalment, la prova d'intercanvi pren dos estats d'entrada $|\phi \rangle$ i $|\psi \rangle$ i produeix una variable aleatòria de Bernoulli que és 1 amb probabilitat $\textstyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{|\langle \psi |\phi \rangle |}^{2}$ (on les expressions aquí utilitzen la notació bra–ket). Això permet, per exemple, estimar el producte interior quadrat entre els dos estats, ${|\langle \psi |\phi \rangle |}^{2}$, a $\varepsilon$ error additiu agafant la mitjana $O(\textstyle {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}})$ execucions de la prova d'intercanvi. Això requereix $O(\textstyle {\frac {1}{\varepsilon ^{2}}})$ còpies dels estats d'entrada. El producte interior quadrat mesura aproximadament la "superposició" entre els dos estats i es pot utilitzar en aplicacions algebraiques lineals, inclosa la agrupació d'estats quàntics.

Explicació del circuit

Considereu dos estats: $|\phi \rangle$ i $|\psi \rangle$ . L'estat del sistema al començament del protocol és $|0,\phi ,\psi \rangle$ . Després de la porta Hadamard, l'estat del sistema és ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0,\phi ,\psi \rangle +|1,\phi ,\psi \rangle )$ . La porta SWAP controlada transforma l'estat en ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0,\phi ,\psi \rangle +|1,\psi ,\phi \rangle )$ . La segona porta Hadamard resulta

$${\frac {1}{2}}(|0,\phi ,\psi \rangle +|1,\phi ,\psi \rangle +|0,\psi ,\phi \rangle -|1,\psi ,\phi \rangle )={\frac {1}{2}}|0\rangle (|\phi ,\psi \rangle +|\psi ,\phi \rangle )+{\frac {1}{2}}|1\rangle (|\phi ,\psi \rangle -|\psi ,\phi \rangle )$$

La porta de mesura del primer qubit assegura que sigui 0 amb una probabilitat de

$$P({\text{Primer qubit}}=0)={\frac {1}{2}}{\Big (}\langle \phi |\langle \psi |+\langle \psi |\langle \phi |{\Big )}{\frac {1}{2}}{\Big (}|\phi \rangle |\psi \rangle +|\psi \rangle |\phi \rangle {\Big )}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{|\langle \psi |\phi \rangle |}^{2}$$

quan es mesura. Si $\psi$ i $\phi$ són ortogonals $({|\langle \psi |\phi \rangle |}^{2}=0)$, aleshores la probabilitat que es mesura 0 és ${\frac {1}{2}}$ . Si els estats són iguals $({|\langle \psi |\phi \rangle |}^{2}=1)$, aleshores la probabilitat que es mesura 0 és 1.

En general, per $P$ proves de la prova d'intercanvi utilitzant $P$ còpies de $|\phi \rangle$ i $P$ còpies de $|\psi \rangle$, la fracció de mesures que són zero és $1-\textstyle {\frac {1}{P}}\textstyle \sum _{i=1}^{P}M_{i}$, així que prenent $P\rightarrow \infty$, es pot obtenir una precisió arbitrària d'aquest valor.