Regla de Leibniz (regla del producte generalitzada)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En càlcul, la regla de Leibniz, anomenada així en honor a Gottfried Leibniz, és una generalització de la regla del producte. Estableix que si f i g són funcions derivables n cops, llavors la nèssima derivada del producte fg bé donada per

(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(k)} g^{(n-k)}

on {n \choose k} és el coeficient binomial habitual.

Això es pot demostrar per inducció emprant la regla del producte.

Emprant notació multi-index la regla estableix pel cas general de derivades parcials:

\partial^\alpha (fg) = \sum_{\beta \le \alpha} {\alpha \choose \beta} (\partial^{\alpha - \beta} f) (\partial^{\beta} g)

Que és el que en resulta d'aplicar la fórmula anterior a cada component del multi-index.