Aresta (geometria)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Una aresta entre dos vèrtexs.

En geometria, una aresta és un segment de dimensió 1 que uneix dos vèrtexs de dimensió zero en un polígon, un políedre, o més en general un polítop.[1] En dimensió 1 la pròpia aresta és el mateix polítop. Una successió plana i tancada d'arestes forma un polígon que és un polítop de dimensió 2. En aquest cas de cada aresta se'n diu costat del polígon. Les cares dels polítops de dimensió tres o superior són formades per successions planes i tancades d'arestes.

Relació amb les arestes dels grafs[modifica | modifica el codi]

Triangle.TrigArea.svg

Tres arestes AB, BC i CA, cadascuna entre dos vèrtexs d'un triangle.
Square (geometry).svg
Un polígon està envoltat per arestes; aquest quadrat té 4 arestes.
Hexahedron.png
Tota aresta forma part de dues cares en un políedre, com en aquest cub.
Hypercube.svg
Tota aresta forma part de tres o més cares en un 4-politop, com es veu en aquesta projecció d'un polícor.[2]

En teoria de grafs, una aresta és un objecte abstracta que connecta dos vèrtexs, al contrari que les arestes dels polígons i políedres, que tenen una representació geomètrica concreta com un segment de recta. Tot i això, qualsevol políedre es pot representar pel seu esquelet o esquelet d'arestes, un graf que té com a vèrtexs els vèrtexs geomètrics del políedre, i que té com a arestes les arestes geomètriques.[3] Recíprocament, els grafs que són esquelets de políedres tridimensionals es poden caracteritzar pel teorema de Steinitz, essent exactament els grafs planars 3-vèrtex-connexos.[4]

Nombre d'arestes d'un políedre[modifica | modifica el codi]

La superfície de qualsevol políedre convexcaracterística d'Euler

V - E + F = 2,

on V és el nombre de vèrtexs, E és el nombre d'arestes, i F és el nombre de cares. Aquesta equació es coneix amb el nom de relació d'Euler. Així, el nombre d'arestes és 2 unitats menor que la suma del nombre de vèrtexs i de cares. Per exemple, un cub té 8 vèrtexs i 6 cares, i per tant 12 arestes.

Incidències amb altres cares[modifica | modifica el codi]

En un polígon, dues arestes es troben en cada vèrtex; més en general, pel teorema de Balinski, almenys d arestes es troben a cada vèrtex d'un polítop convex de dimensió d.[5] De manera semblant, en un políedre, exactament dues cares bidimensionals es troben a cada aresta,[6] mentre que, en polítops de dimensió superior, tres o més cares bidimensionals es troben a cada aresta.

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. Ziegler, Günter M. Lectures on Polytopes. 152. Springer, 1995. 
  2. Seidel, Raimund. Proceedings of the Eighteenth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '86), 1986, p. 404–413. DOI 10.1145/12130.12172. «Constructing higher-dimensional convex hulls at logarithmic cost per face» 
  3. Senechal, Marjorie. Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination. Springer, 2013, p. 81. ISBN 9780387927145. 
  4. Pisanski, Tomaž; Randić, Milan. Geometry at work. 53. Washington, DC: Math. Assoc. America, 2000, p. 174–194. «Bridges between geometry and graph theory» . Vegeu en particular el Teorema 3, p. 176.
  5. Balinski, M. L.. «On the graph structure of convex polyhedra in n-space». Pacific Journal of Mathematics, 11, 2, 1961, p. 431–434. DOI: 10.2140/pjm.1961.11.431.
  6. Wenninger, Magnus J. Polyhedron Models. Cambridge University Press, 1974, p. 1. ISBN 9780521098595. 

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]