Vés al contingut

Bucle (àlgebra)

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure
«Bucle (matemàtiques)» redirigeix aquí. Vegeu-ne altres significats a «Bucle (teoria de grafs)».
Relació del bucle amb altres estructures algebraiques a partir de les propietats de la seva llei de composició interna, en anglès.

En matemàtiques, un bucle o llaç és una estructura algebraica consistent en un conjunt dotat d'una llei de composició interna amb element neutre i on tot element té un element invers. Un bucle és doncs, un magma amb divisibilitat i element neutre.

Amb altres paraules, és un bucle si:

  1. (llei de composició interna).
  2. (element neutre). Noteu que l'element neutre és únic i bilàter.
  3. (existència d'element simètric). Per a cada x existeix un únic element simètric per l'esquerra, , i un únic element simètric per la dreta, . Noteu que el simètric per l'esquerra pot ser diferent al simètric per la dreta.

Si el bucle és associatiu aleshores queda garantit que , i l'element simètric és bilàter i únic per a cada x, amb la qual cosa tenim un grup.

Exemples

[modifica]
  • Els nombres enters amb la subtracció són un bucle.
  • Els nombres racionals diferents de zero (ℚ*) amb la divisió són un bucle.
  • Els nombres reals diferents de zero (ℝ*) amb la divisió són un bucle.
  • Sigui S un conjunt amb els següents elements i sigui una operació interna en S. A la taula següent es mostren els resultats d’operar tots els elements entre ells amb , on la primera fila representa l'operand per l'esquerra i la primera columna l'operand per la dreta:
a b c d e f
a b d e c f a
b e a d f c b
c d e f b a c
d c f a e b d
e f c b a d e
f a b c d e f

El conjunt S amb aquesta operació són un bucle:

L'operació és una llei de composició interna

[modifica]

Tots els elements d'arribada són també elements en S.

Existeix un element neutre

[modifica]

L'element neutre del conjunt és f, ja que per a qualsevol element n del conjunt es compleix que .

Existeix un element invers per a tots els elements del conjunt

[modifica]

L’element invers i és aquell element el qual, sent operat per l’esquerra i per la dreta amb un element qualsevol n dins de S, dona com a resultat l’element neutre, que en el cas d'aquest conjunt és f. Com es pot apreciar a la taula, tots els elements del conjunt tenen un invers per les dues bandes.

L'operació no és associativa en el conjunt

[modifica]

Això es pot verificar amb el següent exemple: . Al costat esquerre es té, per una banda, que el resultat d'operar b amb c és e i que . Al costat dret, per altra banda, es té que i que . Per tant, aquesta operació no és associativa en S.

La divisió és sempre possible

[modifica]

Ja que, per a dos elements n i m qualssevol en S, es compleix que existeix un divisor x per l’esquerra i un divisor y per la dreta tals que . Podem comprovar que la divisió és sempre possible verificant que totes les files i columnes tinguin els sis elements del conjunt sense repetir-se, ja que això indica que es pot obtenir qualsevol element m operant qualsevol n del conjunt amb un divisor per l’esquerra i altre per la dreta.

Vegeu també

[modifica]

Bibliografia

[modifica]
  • Bourbaki, N. Algèbre, Chapitres 1 à 3 (en francès). París: Hermann, 1970. 
  • Weisstein, Eric W. «Loop» (en anglès). MathWorld. Wolfram Research, Inc.. Arxivat de l'original el 2 de desembre 2013. [Consulta: 27 novembre 2013].
  • Albert, A. A.. Studies in Modern Algebra (en anglès). Washington, DC: Associació Americana de Matemàtiques, 1963.