Convolució de distribucions de probabilitat

Convolució de distribucions de probabilitat

Tipus	convolució

La convolució/suma de distribucions de probabilitat sorgeix en la teoria i l'estadística de probabilitats com l'operació en termes de distribucions de probabilitat que correspon a la suma de variables aleatòries independents i, per extensió, a formar combinacions lineals de variables aleatòries. L'operació aquí és un cas especial de convolució en el context de distribucions de probabilitat.

Introducció

La distribució de probabilitat de la suma de dues o més variables aleatòries independents és la convolució de les seves distribucions individuals. El terme està motivat pel fet que la funció de massa de probabilitat o la funció de densitat de probabilitat d'una suma de variables aleatòries independents és la convolució de les seves corresponents funcions de massa de probabilitat o funcions de densitat de probabilitat, respectivament. Moltes distribucions conegudes tenen circumvolucions simples: vegeu Llista de circumvolucions de distribucions de probabilitat

La fórmula general per a la distribució de la suma $Z=X+Y$ de dues variables aleatòries independents amb valors enters (i, per tant, discretes) és

$P(Z=z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }P(X=k)P(Y=z-k)$

Per a variables aleatòries contínues i independents amb funcions de densitat de probabilitat (PDF) $f,g$ i funcions de distribució acumulada (CDF) $F,G$ respectivament, tenim que el CDF de la suma és:

$H(z)=\int _{-\infty }^{\infty }F(z-t)g(t)dt=\int _{-\infty }^{\infty }G(t)f(z-t)dt$

Si comencem amb variables aleatòries $X$ i $Y$, relacionat per $Z=X+Y$, i sense informació sobre la seva possible independència, aleshores:

$f_{Z}(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{XY}(x,z-x)~dx$

Tanmateix, si $X$ i $Y$ són independents, doncs:

$f_{XY}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$

i aquesta fórmula es converteix en la convolució de les distribucions de probabilitat:

$f_{Z}(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)~f_{Y}(z-x)~dx$