Coordenades el·líptiques

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search
Sistema de coordenades líptiques.

Les coordenades líptiques són un sistema bidimensional de coordenades curvilínies ortogonals en els quals les línies coordenades són el·lipses confocals i hipèrboles. Els dos focus i estan generalment fixes en les posicions i , respectivament, sobre l'eix d'un sistema cartesià els eixos són eixos de simetria de les línies coordenades hiperbòliques i líptiques.

Les coordenades líptiques cilíndriques són un sistema tridimensional obtingut fent girar el sistema anterior al voltant de l'eix de focus i afegint una coordenada angular polar addicional.

Definició[modifica]

La definició més comuna de les coordenades el·líptiques bidimensionals és:

On:

és un nombre real no negatiu i
.

En el pla complex, hi ha una relació equivalent donada per:

Aquestes definicions corresponen a el·lipses i hipèrboles. La identitat trigonomètrica:

mostra que les corbes amb constant són el·lipses, mentre que la identitat trigonomètrica hiperbòlica:

mostra que les corbes amb constant són hipèrbolas.

Aplicacions[modifica]

Les aplicacions clàssiques de les coordenades líptiques són resolució de equacions en derivades parcials com l'equació de Laplace o l'equació de Helmholtz, per a les quals les coordenades líptiques admeten separació de variables. Un exemple típic és la càrrega elèctrica que envolta un conductor pla d'amplada 2 a . O el camp de dues càrregues elèctriques puntuals del mateix signe a una distància 2 a .