Coordenades el·líptiques

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Sistema de coordenades líptiques.

Les coordenades líptiques són un sistema bidimensional de coordenades curvilínies ortogonals en els quals les línies coordenades són el·lipses confocals i hipèrboles. Els dos focus i estan generalment fixes en les posicions i , respectivament, sobre l'eix d'un sistema cartesià els eixos són eixos de simetria de les línies coordenades hiperbòliques i líptiques.

Les coordenades líptiques cilíndriques són un sistema tridimensional obtingut fent girar el sistema anterior al voltant de l'eix de focus i afegint una coordenada angular polar addicional.

Definició[modifica | modifica el codi]

La definició més comuna de les coordenades el·líptiques bidimensionals és:

On:

és un nombre real no negatiu i
.

En el pla complex, hi ha una relació equivalent donada per:

Aquestes definicions corresponen a el·lipses i hipèrboles. La identitat trigonomètrica:

mostra que les corbes amb constant són el·lipses, mentre que la identitat trigonomètrica hiperbòlica:

mostra que les corbes amb constant són hipèrbolas.

Aplicacions[modifica | modifica el codi]

Les aplicacions clàssiques de les coordenades líptiques són resolució de equacions en derivades parcials com l'equació de Laplace o l'equació de Helmholtz, per a les quals les coordenades líptiques admeten separació de variables. Un exemple típic és la càrrega elèctrica que envolta un conductor pla d'amplada 2 a . O el camp de dues càrregues elèctriques puntuals del mateix signe a una distància 2 a .