Figura 1. La probabilitat del conjunt A és m(A)/m(D)
La motivació és donar models probabilístics de la idea d'elegir un punt a l'atzar en un conjunt amb probabilitat uniforme, això és, expressat informalment, que <<tots els punts tinguin la mateixa probabilitat>>. Podem veure-ho com una extensió al cas continu de la definició de Laplace de casos favorables dividit per casos possibles, però ara, atès que els casos no es poden comptar directament (n'hi ha una infinitat no numerable), el que es fa és <<mesurar>> d'alguna manera el conjunt de casos possibles i el conjunt dels casos favorables.
Així, en general, una distribució uniforme està lligada a una mesura com la longitud, l'àrea, el volum, etc., i un conjunt que compleixi ; aleshores la distribució uniforme[1], o probabilitat geòmetrica[2], sobre ve definida per la probabilitat que un punt estigui en un subconjunt és Cal notar que aquesta definició inclou tant la distribució uniforme contínua, on i és la longitud, com la distribució uniforme discreta, on és un conjunt finit i és el nombre d'elements del conjunt ( s'anomena mesuracomptadora).
Veurem quatre exemples de distribucions uniformes multidimensionals: en un rectangle, en un cercle, en una circumferència i en una esfera. Els dos primers exemples són essencialment diferents dels altres dos, ja que en els primers es tracta de conjunts del pla i la mesura de referència és l'àrea; mentre que la circumferència també està el pla però té àrea 0, i llavors cal utilitzar la longitud; anàlogament, l'esfera està a però té volum zero i s'utilitza l'àrea de superfície. També comentarem l'extensió a l'esfera a -dimensional. El llibre de Mathai[3] conté nombrosos exemples de distribucions uniformes en boles, símplexs, etc., així com moltes aplicacions.
Distribucions uniformes en una regió del pla amb àrea finita i no nul.la
Començarem estudiant el cas bidimensional de forma general i després el concretarem al rectangle i al cercle. Sigui (de fet, cal considerar un conjunt de Borel de , vegeu el cas general més avall), amb àrea finita i no nul.la:
Aleshores s'anomena distribució uniforme[4] sobre a la probabilitat
Si designem per i les coordenades cartesianes del punt que elegim a l'atzar, tenim un vector aleatori bidimensional que es diu que té distribució uniforme sobre , i s'escriu i compleix que per a ,
Llavors, és absolutament continu i té densitat conjunta
Demostració
Ens serà d'utilitat la funció indicador d'un conjunt , que designarem per :
Sigui un rectangle, amb i . Aleshores la funció de densitat conjunta és
Les marginals de i són:
Així, té una distribució uniforme en , i té una distribució uniforme en , . A més, atès que
Sigui el cercle de radi 1 centrat en l'origen i considerem un vector aleatori amb distribució uniforme sobre . La funció de densitat conjunta serà
Les funcions de densitat marginals són
En conseqüència, ni ni tenen distribució uniforme, i, a més, no són independents. La distribució de o de s'anomena distribució del semicercle de Wigner.
Demostració
Calculem la densitat marginal de ,
Sigui .
Si , Llavors,
Si , (vegeu la Figura 2) tenim que
- Si , .
- Si , llavors .
Llavors,
Figura 2. Fixt , la funció de densitat conjunta és zero a menys que
És interessant estudiar aquesta distribució en coordenades polars, , i :
Figura 3. Coordenades polars
Vegeu la Figura 3. Considerem el vector aleatori que dona les coordenades polars del punt ;
la seva funció de densitat conjunta és Les funcions de densitat de i són:
Així, té una distribució uniforme en , però no té distribució uniforme. A més, és clar que
d'on i són independents.
Per tant, elegir un punt a l'atzar en un cercle de radi 1 d'acord amb una distribució uniforme equival a elegir de manera independent l'angle , i la distància del centre del cercle al punt amb densitat .
Demostració
Figura 4. Sector circular S d'angle i radi . La circumferència exterior té radi 1.
Per calcular la densitat es pot fer el canvi de variables . Però és més senzill calcular directament la funció de distribució del vector . Donats i , sigui el sector circular d'angle i radi , vegeu la Figura 4.
Aleshores,
Els altres valors de la funció de distribució, quan o o , etc. és calculen de manera similar. Aleshores, derivant respecte i , es dedueix la funció de densitat conjunta del vector aleatori . La densitat conjunta factoritza en producte d'una funció de i una de , d'on es dedueix que ambdues variables són independents. Calculant les constants normalitzadores es calculen les funcions de densitat de cadascuna de les variables.
Més generalment, a considerem la -àlgebra de Boreli designem per la mesura de Lebesgue a . Sigui tal que . Aleshores la distribució uniforme sobre [5] és la probabilitat tal que si ,
Un vector aleatori -dimensional té distribució uniforme sobre i s'escriu si per qualsevol
En aquest cas, és absolutament continu i té densitat conjunta
Considerem una circumferència de radi 1. Elegir un punt a l'atzar o amb distribució uniforme sobre la circumferència vol dir que la probabilitat que un punt estigui en un arc de és igual a la longitud de l'arc dividit per la longitud total de la circumferència.
La distribució uniforme en la circumferència en coordenades polars
Figura 5. L'angle φ determina un punt sobre la circumferència unitatFigura 6. L'arc AB de la circumferència unitat mesura φ2-φ1 radians
Pel estudiar aquesta distribució és millor començar amb les coordenades polars , però, atès que tots els punts de la circumferència unitat tenen , es redueixen a l'angle , vegeu la Figura 5. La distribució uniforme sobre la circumferència es modelitza mitjançant una variable aleatòria amb distribució uniforme sobre l'interval : en efecte, l'arc quedarà determinat pels angles i que especifiquen i respectivament (vegeu la Figura 6), i tenint en compte que un arc d'una circumferència de radi 1 mesura en radians igual que l'angle central corresponent, tenim que
La distribució uniforme en la circumferència en coordenades cartesianes
Sigui un vector aleatori amb distribució uniforme en la circumferència, això és,
Aquest vector aleatori té les següents propietats:
1. no té densitat conjunta (respecte la mesura de Lebesgue al pla), ja que està concentrat en la circumferència que té àrea 0; així, si existís una funció tal que per a ,
tindríemla qual cosa és absurda.
2. i no són independents, ja que .
3. La funció de densitat de o de és que s'anomena distribució de l'arc sinus i que també és una distribució Beta de paràmetres amb i [6].
En efecte, per simetria ambdues variables tenen la mateixa distribució, ja que la longitud de un arc de la circumferència és invariant per rotacions, i per tant, podem intercanviar el paper de i de . Per calcular la densitat de es fa el canvi de variables .
La següent propietat estudia la relació entre la distribució uniforme a la circumferència i les variables normals; és molt important i proporciona un mètode per generar distribucions uniformes[7].
Propietat. Siguin i dues variables aleatòries independents, ambdues amb distribució normal centrada amb variància , . Aleshores el vector aleatori té una distribució uniforme a la circumferència de radi 1[8].
Demostració
Sigui un arc de la circumferència corresponent a . Aleshores Fent un canvi a coordenades polars, el terme de la dreta esdevé
Anem a estudiar la distribució uniforme en l'esfera[9] de radi 1 que designarem per . Tal com hem dit a la introducció, s'utilitza l'àrea de superfície, a la que ens referirem senzillament com Àrea. Com en els altres casos, elegir un punt a l'atzar o amb distribució uniforme en una esfera vol dir que la probabilitat que un punt estigui en una regió de l'esfera és igual a l'àrea d' dividit per l'àrea total de l'esfera,
Figura 7. Coordenades esfèriques d'un punt
És convenient introduir les coordenades esfèriques, , , i , vegeu la Figura 7,
L'esfera en coordenades polars equival al conjunt , i per tant podem prescindir de la coordenada , i en tenim prou especificant ; aquesta és la parametrització habitual de l'esfera que es fa servir en Càlcul vectorial[10].
Sigui un vector aleatori que ens dona la posició d'un punt elegit a l'atzar en coordenades esfèriques, és a dir, tals que donat un conjunt de l'esfera,
Propietat. El vector aleatori és absolutament continu (respecte la mesura de Lebesgue a ) amb densitat conjunta[11].
Les variables aleatòries i són independents i tenen densitats
Demostració
Anem a buscar la funció de distribució del vector . Fixem . Designem per la intersecció d'un casquet esfèric que de semiangle central i un fus d'angle , que correspon a la zona negra de la Figura 8. Figura 8. La zona negra és la intersecció d'un casquet de semiangle central θ i un fus d'angle φD'acord amb la fórmula de la superfície del casquet esfèric en funció del semiangle, D'altra banda,
d'on
Per derivació es troba la densitat conjunta. És clar que aquesta funció descompon com a producte d'una funció de i una de , d'on es dedueix la independència de i . Llavors, només cal buscar les constants normalitzadores per tal que ambdues siguin funcions de densitat.
Observació. Es podria pensar que elegir un punt sobre una esfera amb distribució uniforme equival a elegir de forma independent i , ambdues amb distribució uniforme. Però això no és correcte: tal com veiem, no té una distribució uniforme.
Tal com hem fet en el cas de la circumferència, anem a utilitzar coordenades cartesianes. Sigui un vector aleatori que dona les coordenades cartesianes d'un punt elegit a l'atzar en una esfera de radi 1. Aleshores:
1. no té densitat conjunta (respecte la mesura de Lebesgue a ), ja que està concentrat en l'esfera D que té volum zero.
2., i no són independents, ja que .
3. Les variables , o tenen distribució uniforme en [-1,1][12], és a dir, amb densitat 4. La funció de densitat conjunta de dues variables és[12].
La relació amb les variables normals amb també és veritat en aquest cas. Concretament, si , i són variables aleatòries independents, totes amb distribució normal centrada amb variància , , aleshores el vector aleatori té una distribució uniforme en l'esfera de radi 1[8].
Utilitzarem la notació habitual i designarem per l'esfera a de radi 1 amb centre l'origen:
Sigui la -àlgebra de Borel sobre ,
S'anomena mesura de superfície a la mesura en [13] definida peron, és la mesura de Lebesgue a i per , Aquesta mesura compleix que per a mesurable i afitada,La mesura coincideix (excepte, potser, una constant multiplicativa) amb la mesura de Haussdorf de dimensió restringida a [14].
És important remarcar que, atès que la mesura de Lebesgue és invariant per rotacions[15] també ho és .
Per , és l'extensió de l'àrea de superficie a tots els borelians de l'esfera i coincideix amb aquesta per a les superfícies habituals: casquets esfèrics, triangles esfèrics, etc.
Demostració
Sigui una regió de l'esfera que en coordenades polars s'escrigui , amb i . Designem per el conjunt que apareix en la definició (*) de :
que en coordenades esfèriques correspon a Aleshores, fent un canvi a coordenades esfèriques, i tenint en compte que el jacobià és ,
Així, per exemple, si és un casquet esfèric de semiangle central , que en coordenades esfèriques correspon a , tindrem
que és la superfície del casquet esfèric en funció del semiangle central.
Aleshores l'espai de probabilitat corresponent a la distribució uniforme sobre és on Recordem que[16]
Sigui un vector aleatori amb districució uniforme a . Aleshores,
3. Donades d'aquestes variables, tenen densitat conjunta[12]:
Finalment, també tenim la relació amb les lleis normals: Siguin variables aleatòries independents, totes amb distribució normal centrada amb variància , . Escrivim Aleshores el vector té distribució uniforme sobre [8].