Equació de camp
En física teòrica i matemàtiques aplicades, una equació de camp és una equació diferencial parcial que determina la dinàmica d'un camp físic, concretament l'evolució temporal i la distribució espacial del camp. Les solucions de l'equació són funcions matemàtiques que corresponen directament al camp, com a funcions de temps i espai. Com que l'equació de camp és una equació diferencial parcial, hi ha famílies de solucions que representen una varietat de possibilitats físiques. Normalment, no hi ha només una única equació, sinó un conjunt d'equacions acoblades que s'han de resoldre simultàniament. Les equacions de camp no són equacions diferencials ordinàries, ja que un camp depèn de l'espai i el temps, que requereix almenys dues variables.
Mentre que l'" equació d'ona ", l'" equació de difusió " i l'" equació de continuïtat " tenen totes formes estàndard (i diversos casos especials o generalitzacions), no hi ha una equació especial única anomenada "l'equació de camp".
El tema es divideix a grans trets en equacions de la teoria clàssica de camps i la teoria quàntica de camps. Les equacions de camp clàssiques descriuen moltes propietats físiques com la temperatura d'una substància, la velocitat d'un fluid, les tensions en un material elàstic, els camps elèctrics i magnètics d'un corrent, etc.[1] També descriuen les forces fonamentals de la natura, com l'electromagnetisme i la gravetat.[2][3] En la teoria quàntica de camps, les partícules o sistemes de "partícules" com electrons i fotons estan associats amb camps, permetent graus de llibertat infinits (a diferència dels graus de llibertat finits en la mecànica de partícules) i nombres de partícules variables que es poden crear o aniquilar.
Generalitats[modifica]
Origen[modifica]
Normalment, les equacions de camp es postulen (com les equacions de camp d'Einstein i l'equació de Schrödinger, que subjau a totes les equacions de camp quàntics) o s'obtenen a partir dels resultats d'experiments (com les equacions de Maxwell). L'extensió de la seva validesa és la seva capacitat per predir correctament i estar d'acord amb els resultats experimentals.
Des d'un punt de vista teòric, les equacions de camp es poden formular en els marcs de la teoria de camps lagrangiana, la teoria de camps hamiltoniana i les formulacions teòriques de camp del principi d'acció estacionària.[4] Donada una densitat lagrangiana o hamiltoniana adequada, una funció dels camps d'un sistema donat, així com les seves derivades, el principi d'acció estacionària obtindrà l'equació de camp.
Simetria[modifica]
Tant en les teories clàssiques com en les quàntiques, les equacions de camp satisfan la simetria de la teoria física de fons. La majoria de les vegades la simetria galileana és suficient, per a velocitats (de camps de propagació) molt inferiors a la de la llum. Quan les partícules i els camps es propaguen a velocitats properes a la de la llum, la simetria de Lorentz és una de les configuracions més habituals perquè l'equació i les seves solucions són coherents amb la relativitat especial.
Equació de camp clàssica[modifica]
Les equacions de camp clàssiques sorgeixen en la mecànica del continu (incloent-hi l'elastodinàmica i la mecànica de fluids), la transferència de calor, l'electromagnetisme i la gravitació.
Les equacions de camp clàssiques fonamentals inclouen
- Llei de la gravitació universal de Newton per a la gravitació no relativista.
- Equacions de camp d'Einstein per a la gravitació relativista
- Equacions de Maxwell per a l'electromagnetisme.
Les equacions importants derivades de les lleis fonamentals inclouen:
- Equacions de Navier-Stokes per al flux de fluids.
Com a part dels processos de modelització matemàtica de la vida real, les equacions de camp clàssiques s'acompanyen d'altres equacions de moviment, equacions d'estat, equacions constitutives i equacions de continuïtat.
Equació de camp quàntic[modifica]
En la teoria quàntica de camps, les partícules es descriuen mitjançant camps quàntics que compleixen l'equació de Schrödinger. També són operadors de creació i aniquilació que satisfan les relacions de commutació i estan subjectes al teorema de l'espín-estadística.
Els casos particulars d'equacions de camp quàntiques relativistes inclouen [5]
- l'equació de Klein-Gordon per a les partícules d'espín-0
- l'equació de Dirac per a les partícules de spin-1/2
- les equacions de Bargmann-Wigner per a partícules de qualsevol espín
En les equacions de camp quàntic, és habitual utilitzar components de moment de la partícula en lloc de coordenades de posició de la ubicació de la partícula, els camps es troben a l'espai del moment i les transformades de Fourier els relacionen amb la representació de la posició.
Referències[modifica]
- ↑ Fetter, A. L.. Theoretical Mechanics of Particles and Continua (en anglès). Dover, 1980, p. 439, 471. ISBN 978-0-486-43261-8.
- ↑ Jackson, J. D.. Classical Electrodynamics (en anglès). 2nd. John Wiley & Sons, 1975, p. 218. ISBN 0-471-43132-X.
- ↑ Landau, L.D.. The Classical Theory of Fields (en anglès). 2. 4th. Butterworth–Heinemann, 2002, p. 297 (Course of Theoretical Physics). ISBN 0-7506-2768-9.
- ↑ Goldstein, Herbert. «Chapter 12: Continuous Systems and Fields». A: Classical Mechanics (en anglès). 2nd. San Francisco, CA: Addison Wesley, 1980, p. 548, 562. ISBN 0201029189.
- ↑ Ohlsson, T. Relativistic Quantum Physics: From Advanced Quantum Mechanics to Introductory Quantum Field Theory (en anglès). Cambridge University Press, 2011, p. 23, 42, 44. ISBN 978-1-139-50432-4.