Distribució gamma

A la teoria de la probabilitat i l'estadística, la distribució gamma és una família de distribucions contínues amb dos paràmetres. Té un paràmetre d'escala θ i un paràmetre de forma k. Si k és un nombre sencer aleshores la distribució representa la suma de k variables aleatòries exponencials, cadascuna de les quals té mitjana θ.

Caracterització

Una variable aleatòria gamma X amb escala θ i forma k es denota

$X\sim \Gamma (k,\theta )\,\,\mathrm {or} \,\,X\sim {\textrm {Gamma}}(k,\theta )$

Funció de densitat de probabilitat

La funció de probabilitat de densitat de la distribució gamma pot expressar-se en termes de la funció gamma:

$f(x;k,\theta )=x^{k-1}{\frac {e^{-x/\theta }}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}\ \mathrm {for} \ x>0\,\,\mathrm {and} \,\,k,\theta >0.$

En aquesta parametrització l'esperança és $k/\theta$ Alternativament, la distribució gamma pot parameteritzar-se en termes d'un paràmetre de forma $\alpha =k$ i un paràmetre d'escala inversa $\beta =1/\theta$, anomenat un paràmetre de tasa:

$g(x;\alpha ,\beta )=x^{\alpha -1}{\frac {\beta ^{\alpha }\,e^{-\beta \,x}}{\Gamma (\alpha )}}\ \mathrm {for} \ x>0\,\!.$

En la segona parametrització l'esperança és $k\theta$. Ambdues parametritzacions són comunes perque qualsevol de les dues pot ésser més convenient depenent de la tasca a la que un s'enfronta. És possible una tercera parametrització, on es manté el paràmetre de forma $\alpha =k$ i s'introdueix l'esperança $\mu =\alpha /\theta$. L'avantatge d'aquesta darrera parametrització és que és més fàcilment interpretable.

Funció de distribució

La funció de distribució pot expressar-se en termes de la funció gamma incomplerta,

$F(x;k,\theta )=\int _{0}^{x}f(u;k,\theta )\,du={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!$

Propietats

Moments

Mitjana= $k\theta \,\!$

Mediana =no hi ha una expressió simple

Moda=$(k-1)\theta \,\!$ per $k\geq 1\,\!$, 0 altrament

Variància=$k\theta ^{2}\,\!$

Asimetria=${\frac {2}{\sqrt {k}}}\,\!$

Kurtosis =${\frac {6}{k}}\,\!$

Entropia =$k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)\!$

Funció generadora de moments =$(1-\theta \,t)^{-k}\,\!$ for $t<1/\theta \,\!$

Funció característica =$(1-\theta \,i\,t)^{-k}\,\!$

Suma

Si X_i segueix una distribució Γ(α_i, β) per a i = 1, 2, ..., N, aleshores

$\sum _{i=1}^{N}X_{i}\sim \Gamma \left(\sum _{i=1}^{N}\alpha _{i},\beta \right)\,\!$

assumint que totes les X_i són independents.

La distribució gamma és infinitament divisible.

Transformació d'escala

Per a qualssevol t > 0 es compleix que tX segueix una distribució Γ(k, tθ), demonstrant que θ és un paràmetre d'escala.

Família exponencial

La distribució gamma pertany a la família exponencial de dos paràmetres i té paràmetres naturals $k-1$ i $1/\theta$, i estadístics naturals $X$ i $\ln(X)$.

Entropía

L'entropia ve donada per

${\frac {-1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{k-1}}{e^{x/\theta }}}\left[(k-1)\ln x-x/\theta -k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\,dx\!$

$=-\left[(k-1)(\ln \theta +\psi (k))-k-k\ln \theta -\ln \Gamma (k)\right]\!$

$=k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi (k)\!$

on ψ(k) és la funció digamma.

Divergència Kullback-Leibler

La divergència Kullback-Leibler entre una Γ(α₀, β₀) (la distribució verdadera) i una Γ(α, β) (la distribució que la aproxima) ve donada per

$D_{\mathrm {KL} }(\alpha ,\beta ||\alpha _{0},\beta _{0})=\log \left({\frac {\Gamma ({\alpha _{0}})\beta _{0}^{\alpha _{0}}}{\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha _{0}}}}\right)+(\alpha -{\alpha _{0}})\psi (\alpha )+\alpha {\frac {\beta -\beta _{0}}{\beta _{0}}}$

Transformada de Laplace

La transformada de Laplace de la distribució gamma és

$F(s)={\frac {\beta ^{\alpha }}{(s+\beta )^{\alpha }}}$

Estimació dels paràmetres

Màxima versemblança

La funció de versemblança per a N observacions iid $(x_{1},\ldots ,x_{N})$ és

$L(\theta )=\prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta )\,\!$

de la qual podem calcular la log-versemblança

$\ell (\theta )=(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}-\sum x_{i}/\theta -Nk\ln {(\theta )}-N\ln {\Gamma (k)}.$

L'estimador màxim-versemblant s'obté maximitzant la log-versemblança, és a dir, calculant-ne la derivada i igualant a zero (es pot demostrar que la funció és convexa i que per tant té un sol extrem). Proceding d'aquesta manera trobem que:

${\hat {\theta }}={\frac {1}{kN}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.\,\!$

Substituint aquest resultat a l'expressió de la log-versemblança dona

$\ell =(k-1)\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}-Nk-Nk\ln {\left({\frac {\sum x_{i}}{kN}}\right)}-N\ln {(\Gamma (k))}.\,\!$

Per trobar el màxim respecte de k cal calcular la derivada i igualar-la a zero, amb el qual s'obté:

$\ln {(k)}-\psi (k)=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})}\,\!$

on

$\psi (k)={\frac {\Gamma '(k)}{\Gamma (k)}}\!$

és la funció digamma. No existeix cap fòrmula tancada per a k, però la funció es comporta bé numericament (és convexe), i per tant és senzill trobar-ne una solució numèrica, per exemple amb el mètode de Newton. És possible trobar un valor inicial per a k emprant el mètode dels moments, o emprant l'aproximació

$\ln(k)-\psi (k)\approx {\frac {1}{k}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12k+2}}\right).\,\!$

Si definim

$s=\ln {\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)}-{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\ln {(x_{i})},\,\!$

aleshores k és aproximadament

$k\approx {\frac {3-s+{\sqrt {(s-3)^{2}+24s}}}{12s}}$

que és dins d'un 1.5% del valor correcte.

Estimador Bayesià

Si considerem que k es conegut i $\theta$ és desconegut, la funció de densitat a posteriori per a $\theta$ és (assumint que la distribució a priori és proporcional a $1/\theta$)

$P(\theta |k,x_{1},...,x_{N})\propto 1/\theta \prod _{i=1}^{N}f(x_{i};k,\theta ).\,\!$

Definint

$y\equiv \sum _{i=1}^{N}x_{i},\qquad P(\theta |k,x_{1},\dots ,x_{N})=C(x_{i})\theta ^{-Nk-1}e^{-y/\theta }.\!$

Per tal de calcular l'esperança cal calcular la integral respecte &theta, el qual pot dur-se a terme emprant un canvi de variables que revela que 1/&theta segueix una distribució gamma amb paràmetres $\scriptstyle \alpha =Nk,\ \ \beta =y$.

$\int _{0}^{\infty }\theta ^{-Nk-1+m}e^{-y/\theta }\,d\theta =\int _{0}^{\infty }x^{Nk-1-m}e^{-xy}\,dx=y^{-(Nk-m)}\Gamma (Nk-m).\!$

Els moments podem calcular-se especificant diferents valors per a m a la següent expressió

$E(x^{m})={\frac {\Gamma (Nk-m)}{\Gamma (Nk)}}y^{m},\!$

Per exemple, l'esperança +/- la desviació estàndard de la distribució a posteriori de $\theta$ és:

${\frac {y}{Nk-1}}$ +/- ${\frac {y^{2}}{(Nk-1)^{2}(Nk-2)}}.$

També és possible obtenir estimadors Bayesians sense assumir que k és conegut, però en general no és possible obtenir-ne una expressió senzilla.

Referències

• Weisstein, Eric W., «Gamma distribution» a MathWorld (en anglès).
• S. C. Choi and R. Wette. (1969) Maximum Likelihood Estimation of the Parameters of the Gamma Distribution and Their Bias, Technometrics, 11(4) 683-69

Categoría:Estadística