Funció injectiva: diferència entre les revisions
mCap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 1: | Línia 1: | ||
[[Imatge:Injection.svg|thumb|Exemple de funció injectiva.]] |
[[Imatge:Injection.svg|thumb|Exemple de funció injectiva.]] |
||
[[Imatge:Surjection.svg|thumb|Exemple de funció no injectiva, l'element ''C'' de la imatge té dues antiimatges (3 i 4).]] |
[[Imatge:Surjection.svg|thumb|Exemple de funció no injectiva, l'element ''C'' de la imatge té dues antiimatges (3 i 4).]] |
||
En [[matemàtiques]] es diu que una [[funció matemàtica|funció]] és '''injectiva''' quan cada [[imatge (matemàtiques)|imatge]] de la funció (cada element del conjunt [[recorregut]]) es correspon a una antiimatge diferent del conjunt de sortida (el [[Domini (matemàtiques)|domini]]). És a dir, quan no existeix cap imatge que tingui associada més d'una antiimatge del domini. De forma gràfica s'acostuma a dir que una funció és injectiva quan la seva gràfica no es talla en més d'un punt per qualsevol recta paral·lela a l'eix X. |
En [[matemàtiques]] es diu que una [[funció matemàtica|funció]] és '''injectiva''' quan cada [[imatge (matemàtiques)|imatge]] de la funció (cada element del conjunt [[recorregut (matemàtiques)|recorregut]]) es correspon a una antiimatge diferent del conjunt de sortida (el [[Domini (matemàtiques)|domini]]). És a dir, quan no existeix cap imatge que tingui associada més d'una antiimatge del domini. De forma gràfica s'acostuma a dir que una funció és injectiva quan la seva gràfica no es talla en més d'un punt per qualsevol recta paral·lela a l'eix X. |
||
Aquelles funcions injectives que també són [[funció exhaustiva|exhaustives]] s'anomenen [[funció bijectiva|bijeccions]]. |
Aquelles funcions injectives que també són [[funció exhaustiva|exhaustives]] s'anomenen [[funció bijectiva|bijeccions]]. |
||
Línia 13: | Línia 13: | ||
Tingueu en compte que aquesta funció ''g'' pot no ser la [[funció inversa]] completa de ''f'', perquè la composició en el sentit contrari ''f''∘''g'' pot no ser la identitat de ''Y''. |
Tingueu en compte que aquesta funció ''g'' pot no ser la [[funció inversa]] completa de ''f'', perquè la composició en el sentit contrari ''f''∘''g'' pot no ser la identitat de ''Y''. |
||
En realitat però, convertir una funció ''f'' : ''X'' → ''Y'' injectiva en una de bijectiva i per tant invertible és tan senzill com substituir el seu conjunt d'arribada ''Y'' pel seu vertader [[recorregut]] ''I''=''f''(''X''). És a dir, sigui ''f''<sub>b</sub> : ''X'' → ''I'' tal que per a tot ''x'' del domini ''X'' es compleixi que ''f''<sub>b</sub>(''x'')=''f''(''x''), tindrem que la funció ''f''<sub>b</sub> és bijectiva. |
En realitat però, convertir una funció ''f'' : ''X'' → ''Y'' injectiva en una de bijectiva i per tant invertible és tan senzill com substituir el seu conjunt d'arribada ''Y'' pel seu vertader [[recorregut (matemàtiques)|recorregut]] ''I''=''f''(''X''). És a dir, sigui ''f''<sub>b</sub> : ''X'' → ''I'' tal que per a tot ''x'' del domini ''X'' es compleixi que ''f''<sub>b</sub>(''x'')=''f''(''x''), tindrem que la funció ''f''<sub>b</sub> és bijectiva. |
||
==Vegeu també== |
==Vegeu també== |
Revisió del 12:54, 16 des 2007
En matemàtiques es diu que una funció és injectiva quan cada imatge de la funció (cada element del conjunt recorregut) es correspon a una antiimatge diferent del conjunt de sortida (el domini). És a dir, quan no existeix cap imatge que tingui associada més d'una antiimatge del domini. De forma gràfica s'acostuma a dir que una funció és injectiva quan la seva gràfica no es talla en més d'un punt per qualsevol recta paral·lela a l'eix X.
Aquelles funcions injectives que també són exhaustives s'anomenen bijeccions.
Definició formal
Sigui f : X → Y una aplicació, es diu que f és injectiva si i només si per a qualsevol a,b ∈ X, si a ≠ b aleshores f(a) ≠ f(b), o el que és el mateix, si el fet que f(a) = f(b) implica que necessàriament a = b.
Funcions invertibles
També es poden definir les funcions injectives com aquelles funcions per a les quals es poden desfer els canvis que provoquen. Així doncs, si f : X → Y és una aplicació injectiva aleshores existeix una altra funció g : Y → X tal que g(f(x)) = x per a tot valor x del conjunt X, és a dir que la funció composició g∘f és igual a la funció identitat del conjunt X.
Tingueu en compte que aquesta funció g pot no ser la funció inversa completa de f, perquè la composició en el sentit contrari f∘g pot no ser la identitat de Y.
En realitat però, convertir una funció f : X → Y injectiva en una de bijectiva i per tant invertible és tan senzill com substituir el seu conjunt d'arribada Y pel seu vertader recorregut I=f(X). És a dir, sigui fb : X → I tal que per a tot x del domini X es compleixi que fb(x)=f(x), tindrem que la funció fb és bijectiva.