Constant de la gravitació

La constant de la gravitació (també anomenada constant gravitacional, constant de la gravitació universal o constant de Newton), denotada G, és una constant física fonamental. És la constant de proporcionalitat que apareix en la llei de la gravitació universal d'Isaac Newton i en la teoria de la relativitat general d'Einstein; no s'ha de confondre amb g, que és l'acceleració causada per la gravetat a la superfície de la Terra a nivell del mar i que té un valor de 9.80665 m/s².

Definició

Segons la llei de Newton, la força d'atracció entre dues masses m₁ i m₂ és:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{d^{2}}}$,

en què G és la constant de la gravitació i d és la distància entre llurs centres de massa.

En les equacions d'Einstein de la gravitació, l'atracció gravitacional es dóna no sols entre masses, sinó que totes les formes d'energia s'atrauen: això és conseqüència del principi de relativitat, en el qual es postula que massa i energia són de la mateixa naturalesa; les dues són font del camp gravitacional (atrauen) i objecte d'aquest (són atretes).

En termes d'unitats del sistema internacional d'unitats, el valor de la constant de la gravitació és:

$G=\left(6,67408\pm 0,00031\right)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}$

Això és equivalent a dir que dues masses d'1 quilogram cada una, separades una distància d'1 metre, s'atrauen l'una a l'altra amb una força gravitacional aproximada de 6,67 × 10^–11 newtons.

La incertesa de 46 parts per milió d'aquest valor posa la constant gravitacional entre les constants físiques mesurades amb menys precisió, encara que les mesures més recents han millorat la precisió del valor de G acceptat. La mesura de la massa del Sol també té la mateixa incertesa, ja que s'usa el valor de G per calcular-la, així com la massa dels planetes; per fer càlculs de mecànica celeste, s'utilitzà la constant gaussiana gravitacional durant el segle XIX:

k = 0,017 202 098 95 A³ D^-2S^-1

Història

G fou implícitament mesurada per primera vegada per Henry Cavendish (Philosophical transactions, del 1798): va usar un balancí horitzontal de torsió amb esferes de plom amb les quals mesurava la inèrcia (amb relació a la constant de torsió), tot cronometrant l'oscil·lació de les esferes. La seva feble atracció cap a altres esferes col·locades al costat del balancí es podia determinar per la desviació que causaven (vegeu experiment de la torsió de barres). Tanmateix, Cavendish treballava amb proporcions, i en els seus articles no fa esment de la constant de la gravitació: l'objectiu de Cavendish era determinar amb precisió la massa de la Terra amb el coneixement de la intensitat de l'atracció gravitatòria. Dels seus experiments, hom pot extreure a posteriori, però, el valor de la constant de la gravitació.

Combinant la constant gravitacional amb la constant de Planck i la velocitat de la llum en el buit és possible crear un sistema d'unitats conegut com a unitats de Planck: en aquest sistema, la constant gravitacional, la constant de Planck i la velocitat de la llum prenen un valor numèric igual a 1.

Teoria de la gravitació de Newton

La constant de la gravitació que s'exposa en la teoria newtoniana de la gravitació pot calcular-se mesurant la força d'atracció entre dos objectes, d'un quilogram (kg) cadascun, separats a un metre de distància. Newton va formular la següent llei, coneguda com a llei de gravitació universal:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

la qual pot ser expressada vectorialment de la forma:

${\vec {F}}=-G\;{\frac {m_{1}m_{2}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\cdot {\vec {u}}_{r}=-G\;{\frac {m_{1}m_{2}}{|{\vec {r}}|^{2}}}\cdot {\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}$

on és la constant de gravitació universal el valor de la qual és:

$G=6.67408(31)\cdot 10^{-11}~\mathrm {\frac {m^{3}}{kg\cdot s^{2}}}$

Només se sap amb certesa que són correctes les primeres xifres decimals: es tracta d'una de les constants físiques que han estat determinades amb menor precisió. Això ocasiona dificultats a l'hora de mesurar amb precisió la massa dels diferents cossos del Sistema Solar, com el Sol o la Terra. I altres constants derivades com la constant d'Einstein.

El primer mesurament del seu valor ha estat atribuïda en moltes ocasions a Henry Cavendish, en l'experiment de la balança de torsió descrit en les Philosophical Transactions de 1798 publicades per la Royal Society. No obstant això Cavendish no pretenia obtenir el valor de G, sinó mesurar la densitat de la Terra —que va resultar «ser 5.48 vegades la de l'aigua»—, sense fer cap referència a la constant G o a Newton, encara que sí que va aplicar la llei proposada per ell per a comparar forces gravitatòries entre masses diferents.

G, la constant de gravitació universal, no ha de ser confosa amb g, lletra que representa la intensitat del camp gravitatori de la Terra, que és el que habitualment rep el nom de «gravetat» i el valor de la qual sobre la superfície terrestre és d'aproximadament 9.8 m/s2.

Teoria de la gravitació d'Einstein

La teoria de la relativitat apareix un altre constant anomenada constant de la gravitació d'Einstein, que ve donada per:

${\ce {G_E = {\frac {8\pi G}{c^4}}}}$

Aquesta constant és el factor de proporcionalitat entre el tensor de curvatura d'Einstein (que és una mesura de la intensitat del camp gravitatori) i el tensor d'energia-moment de la matèria que provoca el camp:

$G_{ik}=R_{ik}-\left({\frac {g_{ik}R}{2}}\right)+\Lambda g_{ik}=G_{E}\;T_{ik}$

L'equivalent clàssic d'aquest últim equació és l'equació de Poisson per al potencial gravitatòria:

$\nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho$