Topologia quocient: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m estandarditzant codi encapçalaments i llistes |
||
Línia 10: | Línia 10: | ||
== Propietats == |
== Propietats == |
||
*L'aplicació <math>p:X \rightarrow X/\mathcal{R}</math> que envia a cada element a la seva classe d'equivalència corresponent és continua.<ref name="mtf">{{ref-publicació |cognom=Llopis |nom=José L. |article=Espai topològic quocient |url=https://www.matesfacil.com/topologia/cociente/espacio-topologico-cociente-ejemplos-toro-cinta-banda-M%c3%b6bius-proposicion-demostracion-homeomorfismo.html |issn=2659-8442 |consulta= 18 de setembre de 2019 |llengua=castellà |publicació = [https://www.matesfacil.com/ Matesfacil]}}</ref> |
* L'aplicació <math>p:X \rightarrow X/\mathcal{R}</math> que envia a cada element a la seva classe d'equivalència corresponent és continua.<ref name="mtf">{{ref-publicació |cognom=Llopis |nom=José L. |article=Espai topològic quocient |url=https://www.matesfacil.com/topologia/cociente/espacio-topologico-cociente-ejemplos-toro-cinta-banda-M%c3%b6bius-proposicion-demostracion-homeomorfismo.html |issn=2659-8442 |consulta= 18 de setembre de 2019 |llengua=castellà |publicació = [https://www.matesfacil.com/ Matesfacil]}}</ref> |
||
*Siguen <math>p\colon X\to X/\mathcal{R}</math> la projecció i <math>\varphi \colon X/\mathcal{R}\to Y</math>. L'aplicació <math>\varphi</math> és continua si, i només si, la [[composició de funcions|composició]] <math>\varphi \circ p \colon X \to Y</math> és continua.<ref name="mtf"/> |
* Siguen <math>p\colon X\to X/\mathcal{R}</math> la projecció i <math>\varphi \colon X/\mathcal{R}\to Y</math>. L'aplicació <math>\varphi</math> és continua si, i només si, la [[composició de funcions|composició]] <math>\varphi \circ p \colon X \to Y</math> és continua.<ref name="mtf"/> |
||
== Exemples == |
== Exemples == |
||
*El [[Tor (geometria)|tor]] com a conjunt quocient:<ref name="mtf"/> Sobre <math>I^2 = [0,1]\times [0,1]</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(x,0)\mathcal{R} (x,1)</math> i <math>(0,y)\mathcal{R} (1,y)</math>. L'espai quocient <math>I^2 /\mathcal{R}</math> és [[homeomorfisme|homeomorf]] a un tor. |
* El [[Tor (geometria)|tor]] com a conjunt quocient:<ref name="mtf"/> Sobre <math>I^2 = [0,1]\times [0,1]</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(x,0)\mathcal{R} (x,1)</math> i <math>(0,y)\mathcal{R} (1,y)</math>. L'espai quocient <math>I^2 /\mathcal{R}</math> és [[homeomorfisme|homeomorf]] a un tor. |
||
:[[Fitxer:Construccion Toro.png|center|Tor]] |
:[[Fitxer:Construccion Toro.png|center|Tor]] |
||
*La [[cinta de Möbius]] com a conjunt quocient:<ref name="mtf"/> Sobre <math>I^2</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(0,y)\mathcal{R} (1,1-y)</math>. L'espai quocient <math>I^2 /\mathcal{R}</math> és homeomorf a una cinta de Möbius. |
* La [[cinta de Möbius]] com a conjunt quocient:<ref name="mtf"/> Sobre <math>I^2</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(0,y)\mathcal{R} (1,1-y)</math>. L'espai quocient <math>I^2 /\mathcal{R}</math> és homeomorf a una cinta de Möbius. |
||
:[[Fitxer:Möbius2.png|center|Banda de Möbius]] |
:[[Fitxer:Möbius2.png|center|Banda de Möbius]] |
||
*La [[ampolla de Klein]] com a conjunt quocient:<ref>{{ref-publicació |cognom=A. Stolz |nom=Stephan |article=Topología algebraica |url=https://www3.nd.edu/~stolz/2016S_Math60440/Alg_Top_2016.pdf |consulta= 18 de setembre de 2019 |llengua=anglès|publicació=[[Universitat de Notre Dame]]}}</ref> Sobre <math>I^2</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(x,0)\mathcal{R} (x,1)</math> i <math>(0,y)\mathcal{R} (1,1-y)</math>. L'espai quocient <math>I^2 /\mathcal{R}</math> és homeomorf a una ampolla de Klein (es difícil de visualitzar ja que no és homeomorf a un subespai de <math>\mathbb{R}^3</math>). |
* La [[ampolla de Klein]] com a conjunt quocient:<ref>{{ref-publicació |cognom=A. Stolz |nom=Stephan |article=Topología algebraica |url=https://www3.nd.edu/~stolz/2016S_Math60440/Alg_Top_2016.pdf |consulta= 18 de setembre de 2019 |llengua=anglès|publicació=[[Universitat de Notre Dame]]}}</ref> Sobre <math>I^2</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(x,0)\mathcal{R} (x,1)</math> i <math>(0,y)\mathcal{R} (1,1-y)</math>. L'espai quocient <math>I^2 /\mathcal{R}</math> és homeomorf a una ampolla de Klein (es difícil de visualitzar ja que no és homeomorf a un subespai de <math>\mathbb{R}^3</math>). |
||
:[[Fitxer:Fundamental_polygon_of_the_Klein_bottle.png|150px|center]] |
:[[Fitxer:Fundamental_polygon_of_the_Klein_bottle.png|150px|center]] |
||
*L'[[esfera]] com a conjunt quocient:<ref>{{ref-publicació |nom=Chen Hui George Teo |article=Classificació de superfícies |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Teo.pdf |consulta= 18 de setembre de 2019 |llengua=anglès|publicació=[[Universitat de Chicago]]}}</ref> Sobre <math>\{(x,y):|x|+|y| \leq 1\}</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(x,y)\mathcal{R} (-x,y)</math> per a <math>(x,y)</math> de la [[frontera (topologia)|frontera]]. L'espai quocient corresponent és homeomorf a una esfera. |
* L'[[esfera]] com a conjunt quocient:<ref>{{ref-publicació |nom=Chen Hui George Teo |article=Classificació de superfícies |url=http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2011/REUPapers/Teo.pdf |consulta= 18 de setembre de 2019 |llengua=anglès|publicació=[[Universitat de Chicago]]}}</ref> Sobre <math>\{(x,y):|x|+|y| \leq 1\}</math> es defineix la relació d'equivalència <math>(x,y)\mathcal{R} (-x,y)</math> per a <math>(x,y)</math> de la [[frontera (topologia)|frontera]]. L'espai quocient corresponent és homeomorf a una esfera. |
||
== Vegeu també == |
== Vegeu també == |
||
Línia 28: | Línia 28: | ||
== Bibliografia == |
== Bibliografia == |
||
*Robles Corbalá Carlos Alberto, "Topología general", Universitat de Sonora. |
* Robles Corbalá Carlos Alberto, "Topología general", Universitat de Sonora. |
||
* {{MathWorld|títol=Espai qocient|QuotientSpace}} |
* {{MathWorld|títol=Espai qocient|QuotientSpace}} |
||
* {{PlanetMath|id=2930|títol=Espai quocient}} |
* {{PlanetMath|id=2930|títol=Espai quocient}} |
Revisió de 18:50, 6 oct 2020
En matemàtiques, la topologia quocient és una topologia definida sobre el conjunt quocient generat per una relació d'equivalència sobre un espai topològic.
Definició[modifica]
Siga un espai topològic i una relació d'equivalència sobre . El conjunt quocient és el conjunt de les classes d'equivalència dels elements de :
Els conjunts oberts que conforman l'anomenada topologia quocient sobre són els conjunts de las classes d'equivalència les unions de les quals són conjunts oberts en :
Definició equivalent: sigui l'aplicació projecció donada per , aleshores es defineixen els oberts de com els conjunts tals que és obert en .
Propietats[modifica]
- L'aplicació que envia a cada element a la seva classe d'equivalència corresponent és continua.[1]
- Siguen la projecció i . L'aplicació és continua si, i només si, la composició és continua.[1]
Exemples[modifica]
- El tor com a conjunt quocient:[1] Sobre es defineix la relació d'equivalència i . L'espai quocient és homeomorf a un tor.
- La cinta de Möbius com a conjunt quocient:[1] Sobre es defineix la relació d'equivalència . L'espai quocient és homeomorf a una cinta de Möbius.
- La ampolla de Klein com a conjunt quocient:[2] Sobre es defineix la relació d'equivalència i . L'espai quocient és homeomorf a una ampolla de Klein (es difícil de visualitzar ja que no és homeomorf a un subespai de ).
- L'esfera com a conjunt quocient:[3] Sobre es defineix la relació d'equivalència per a de la frontera. L'espai quocient corresponent és homeomorf a una esfera.
Vegeu també[modifica]
Bibliografia[modifica]
- Robles Corbalá Carlos Alberto, "Topología general", Universitat de Sonora.
- Weisstein, Eric W., «Espai qocient» a MathWorld (en anglès).
- Espai quocient a PlanetMath
Referències[modifica]
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 Llopis, José L. «Espai topològic quocient» (en castellà). Matesfacil. ISSN: 2659-8442 [Consulta: 18 setembre 2019].
- ↑ A. Stolz, Stephan «Topología algebraica» (en anglès). Universitat de Notre Dame [Consulta: 18 setembre 2019].
- ↑ «Classificació de superfícies» (en anglès). Universitat de Chicago [Consulta: 18 setembre 2019].