Fórmula de Brahmagupta: diferència entre les revisions
Cap resum de modificació |
|||
Línia 1: | Línia 1: | ||
{{MT}} |
{{MT}} |
||
En [[geometria]], l '''' fórmula Brahmagupta ''' troba l'àrea de qualsevol [[quadrilàter]] donades les longituds dels costats i alguns dels [[ |
En [[geometria]], l '''' fórmula Brahmagupta ''' troba l'àrea de qualsevol [[quadrilàter]] donades les longituds dels costats i alguns dels [[angles]]. En la seva forma més comuna, s'obté l'àrea dels quadrilàters que es pugui inscriure en un [[cercle]]. |
||
== Forma Bàsica == |
== Forma Bàsica == |
||
Línia 45: | Línia 45: | ||
: <math> P^2 q^2 - 2pq \cos A = r^2 s^2 - 2rs \cos C. \, </Math> |
: <math> P^2 q^2 - 2pq \cos A = r^2 s^2 - 2rs \cos C. \, </Math> |
||
Substituint <math> \cos C = - \cos A </math> (ja que els |
Substituint <math> \cos C = - \cos A </math> (ja que els angles són [[angle complementari|complementaris]]) i reordenant, hem de |
||
: <math> 2 \cos A (pq rs) = p^2 q^2 - r^2 - s^2. \, </Math> |
: <math> 2 \cos A (pq rs) = p^2 q^2 - r^2 - s^2. \, </Math> |
||
Línia 77: | Línia 77: | ||
: <math> \Sqrt{(sa) (sb) (sc) (sd)-abcd \cos^2 \theta}</math> |
: <math> \Sqrt{(sa) (sb) (sc) (sd)-abcd \cos^2 \theta}</math> |
||
on θ és la meitat de la suma de dos |
on θ és la meitat de la suma de dos angles oposats. (La parella és irrellevant: si els altres dos angles es prenen, la meitat de la seva suma és el suplement de θ. Com que cos (180 ° - θ) =-cosq, tenim cos <sup> 2 </sup> (180 ° - θ) = cos <sup> 2 </sup> θ.) Es desprèn d'això que l'àrea d'un quadrilàter cíclic és l'àrea màxima possible per a qualsevol quadrilàter amb les longituds laterals donat. |
||
Aquesta fórmula general és més conegut de vegades com la fórmula de Bretschneider, però d'acord a [http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html MathWorld] s'ha aparentment a [[Julian Coolidge|Coolidge]] en aquesta forma, l'expressió de Bretschneider ha estat |
Aquesta fórmula general és més conegut de vegades com la fórmula de Bretschneider, però d'acord a [http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html MathWorld] s'ha aparentment a [[Julian Coolidge|Coolidge]] en aquesta forma, l'expressió de Bretschneider ha estat |
||
Línia 85: | Línia 85: | ||
on '' p '' i '' q '' són les longituds de les diagonals del quadrilàter. |
on '' p '' i '' q '' són les longituds de les diagonals del quadrilàter. |
||
És una característica dels quadrilàters cíclics (i en última instància, de |
És una característica dels quadrilàters cíclics (i en última instància, de angles inscrits) que els angles oposats d'un quadrilàter sumen 180 °. En conseqüència, en el cas d'un quadrilàter inscrit, θ = 90 °, on el terme |
||
: <math> Abcd \cos^2 \theta = abcd \cos^2 \left (90^\circ \right) = abcd \cdot0 = 0, \, </math> |
: <math> Abcd \cos^2 \theta = abcd \cos^2 \left (90^\circ \right) = abcd \cdot0 = 0, \, </math> |
Revisió del 23:07, 29 oct 2010
Aquest article o secció necessita millorar una traducció deficient. |
En geometria, l ' fórmula Brahmagupta troba l'àrea de qualsevol quadrilàter donades les longituds dels costats i alguns dels angles. En la seva forma més comuna, s'obté l'àrea dels quadrilàters que es pugui inscriure en un cercle.
Forma Bàsica
En la seva base i més fàcil de recordar la forma, la fórmula Brahmagupta dóna l'àrea d'un quadrilàter els costats tenen longituds A , B , C , D com:
- No s'ha pogut entendre (funció '\Sqrt' desconeguda): {\displaystyle \Sqrt{(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)}}
on s , és el semiperímetre, així:
Aquesta fórmula generalitza la fórmula d'Heró per a l'àrea d'un triangle. De fet, la fórmula d'Heró poden derivar de la fórmula de Brahmagupta al permetre acostar-se a un valor de zero. Un triangle pot ser considerat com un quadrilàter amb un costat de longitud zero. Des d'aquesta perspectiva, com D tendeix a zero, un quadrilàter cíclic convergeix en un triangle cíclic (tots els triangles són cícliques), i la fórmula de Brahmagupta convergeix en la fórmula d'Heró.
L'afirmació que l'àrea del quadrilàter és donada per la fórmula de Brahmagupta és equivalent a l'afirmació que és igual a
fórmula de Brahmagupta pot ser vista com una fórmula de mediació longitud dels costats, sinó que també dóna a la zona com una fórmula en l'altura des del centre cap als costats, encara que si el quadrilàter no conté el centre, l'altitud al costat més llarg ha de ser presa com a negativa.
La prova de la fórmula de Brahmagupta
Àrea de la Zona quadrilàter cíclic = Àrea de Àrea de
Però des és un quadrilàter cíclic, Per tant, Per Tant
Aplicant el teorema del cosinus per i i igualant les expressions per al costat , tenim
Substituint (ja que els angles són complementaris) i reordenant, hem de
Substituint aquesta expressió en l'equació per a l'àrea,
que és de la forma i per tant es pot escriure en la forma com,
Introduint
Prenent la arrel quadrada, obtenim
Extensió als Quadrilàters no cíclics
En el cas dels quadrilàters cíclics no, la fórmula de Brahmagupta pot estendre's en considerar les mesures de dos oposats vores de l'quadrilàter
- No s'ha pogut entendre (funció '\Sqrt' desconeguda): {\displaystyle \Sqrt{(sa) (sb) (sc) (sd)-abcd \cos^2 \theta}}
on θ és la meitat de la suma de dos angles oposats. (La parella és irrellevant: si els altres dos angles es prenen, la meitat de la seva suma és el suplement de θ. Com que cos (180 ° - θ) =-cosq, tenim cos 2 (180 ° - θ) = cos 2 θ.) Es desprèn d'això que l'àrea d'un quadrilàter cíclic és l'àrea màxima possible per a qualsevol quadrilàter amb les longituds laterals donat.
Aquesta fórmula general és més conegut de vegades com la fórmula de Bretschneider, però d'acord a MathWorld s'ha aparentment a Coolidge en aquesta forma, l'expressió de Bretschneider ha estat
- No s'ha pogut entendre (funció '\Sqrt' desconeguda): {\displaystyle \Sqrt{(sa) (sb) (sc) (sd) - \textstyle{1 \over4}(ac bd pq) (ac bd-pq)}\, }
on p i q són les longituds de les diagonals del quadrilàter.
És una característica dels quadrilàters cíclics (i en última instància, de angles inscrits) que els angles oposats d'un quadrilàter sumen 180 °. En conseqüència, en el cas d'un quadrilàter inscrit, θ = 90 °, on el terme
donant la forma bàsica de la fórmula de Brahmagupta.
Teoremes Relacionats
- Fórmula d'Heró, per l'àrea d'un triangle.
- Teorema de Pitàgores, per als costats d'un triangle.