N-esfera

La hiperesfera al espai euclidià de dimensió 2, és lel 2-esfera.

En matemàtica, una n-esfera (o hiperesfera ) és la generalització de la « esfera » a un espai euclidià de dimensió arbitrària. En altres paraules, la n-esfera és una hipersuperficie de l'espai euclidià $\mathbb {R} ^{n+1}\$, notada en general $\mathbb {S} ^{n}\$. Constitueix un dels exemples més senzills de varietat matemàtica.

Definició

Sigui E un espai euclidià de dimensió n +1, A un punt de E , i R un nombre real estrictament positiu. Es diu hiperesfera de centre A i ràdio R al conjunt de punts M tals que la seva distància a A val exactament R .

La n-tupla de punts ( x ₁ , x ₁ , x ₂ , ..., x _{n +1} ) que defineixen una n-esfera ( S ^{n ) es representa amb l'equació:}

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n+1}^{2}=R^{2}~.$

Exemples:

• Per n = 0, la hiperesfera consta de dues punts de coordenades R i -R .
• Per n = 1, la hiperesfera és una circumferència.
• Per n = 2, la hiperesfera és la esfera usual.

Propietats

Volum

El volum de l'espai delimitat per una hiperesfera de dimensió n-1 i de ràdio R , que és una bola euclidiana de dimensió n , val:

$V_{n}={\pi ^{n/2}R^{n} \over \Gamma (n/2+1)}\ \,$

on $\Gamma$ és la funció gamma.

N-bola

Vegeu també: Bola (matemàtica)

L'espai tancat per una n-esfera és una n-bola . Una n-bola és tancada si inclou la n-esfera i oberta en cas contrari.

Exemples:

• La 1-bola és un segment de recta, l'interior d'una 0-esfera.
• La 2-bola és un disc, l'interior d'un cercle (1-esfera).
• La 3-bola és la bola ordinària, l'interior d'una esfera (2-esfera).

Vegeu també

• 3-esfera
• Bola (matemàtica)
• Disc

Referències

• Hypersphere en PlanetMath.
• Weisstein, Eric W., «Hypersphere» a MathWorld (en anglès).