Esquema d'Askey

En matemàtiques, l'esquema d'Askey és una manera d'organitzar polinomis ortogonals de tipus hipergeomètric o hipergeomètric bàsic en una jerarquia. Per als polinomis ortogonals clàssics comentats a Andrews i Askey (1985), l'esquema d'Askey va ser dibuixat per primer cop per Lebelle (1985) i per Askey i Wilson (1985), i des d'aleshores ha sigut estès per Koekoek i Swarttouw (1998) i Koekoek, Lesky i Swarttouw (2010) per cobrir els polinomis ortogonals bàsics.

Esquema d'Askey per a polinomis ortogonals hipergeomètrics

Koekoek, Lesky i Swarttouw (2010) dona la següent versió del esquema d'Askey:

₄F₃

Wilson | Racah

₃F₂

Duals continus de Hahn | Continus de Hahn | Hahn | Duals de Hahn

₂F₁

Meixner-Pollaczek | Jacobi | Pseudo Jacobi | Meixner | Krawtchouk

₂F₀/₁F₁

Laguerre | Bessel | Charlier

₁F₀

Hermite

Esquema d'Askey per polinomis ortogonals hipergeomètrics bàsics

Koekoek, Lesky i Swarttouw (2010) dona l'esquema següent per als polinomis ortogonals hipergeomètrics bàsics:

₄$\phi$₃

Askey–Wilson | q-Racah

₃$\phi$₂

Duals continus q-Hahn | Continus q-Hahn | Gran q-Jacobi | q-Hahn | Duals q-Hahn

₂$\phi$₁

Al-Salam–Chihara | q-Meixner–Pollaczek | Continus q-Jacobi | Gran q-Laguerre | Petit q-Jacobi | q-Meixner | Quantum q-Krawtchouk | q-Krawtchouk | Afins q-Krawtchouk | Doble q-Krawtchouk

₂$\phi$₀/₁$\phi$₁

Continus gran q-Hermite | Continus q-Laguerre | Petit q-Laguerre | q-Laguerre | q-Bessel | q-Charlier | Al-Salam–Carlitz I | Al-Salam–Carlitz II

₁$\phi$₀

Continus q-Hermite | Stieltjes–Wigert | Discrets q-Hermite I | Discrets q-Hermite II

Bibliografia

• Andrews, George E.; Askey, Richard. «Classical orthogonal polynomials». A: Polynômes orthogonaux et applications. Proceedings of the Laguerre symposium held at Bar-le-Duc, October 15–18, 1984. (en anglès). 1171. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1985, p. 36-62 (Lecture Notes in Math.). DOI 10.1007/BFb0076530. ISBN 978-3-540-16059-5. 
• Askey, Richard; Wilson, James «Some basic hypergeometric orthogonal polynomials that generalize Jacobi polynomials» (en anglès). Memoirs of the American Mathematical Society, 54 (319), 1985, pàg. iv+55. DOI: 10.1090/memo/0319. ISSN: 0065-9266.
• Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue (en anglès). 98-17. Delft University of Technology, Faculty of Information Technology and Systems, Department of Technical Mathematics and Informatics, 1998.  Arxivat 2019-08-14 a Wayback Machine.
• Koekoek, Roelof; Lesky, Peter A.; Swarttouw, René F. Hypergeometric orthogonal polynomials and their q-analogues (en anglès). Berlin, New York: Springer-Verlag, 2010 (Springer Monographs in Mathematics). DOI 10.1007/978-3-642-05014-5. ISBN 978-3-642-05013-8. 
• Koornwinder, Tom H. «Group theoretic interpretations of Askey's scheme of hypergeometric orthogonal polynomials». A: Orthogonal polynomials and their applications (Segovia, 1986) (en anglès). 1329. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1988, p. 46–72 (Lecture Notes in Math.). DOI 10.1007/BFb0083353. ISBN 978-3-540-19489-7. 
• Labelle, Jacques. «Tableau d'Askey». A: Polynômes Orthogonaux et Applications. Proceedings of the Laguerre Symposium held at Bar-le-Duc (en anglès). 1171. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1985, p. xxxvi–xxxvii (Lecture Notes in Math.). DOI 10.1007/BFb0076527. ISBN 978-3-540-16059-5.