Vés al contingut

Factorització de rang

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

Donada una matriu de dimensió amb rang , una descomposició de rang o factorització de rang de és un producte , on és una matriu i és una matriu .

Tota matriu de dimensió finita té una factorització de rang: Sigui una matriu amb rang per columnes . Per definició, existeixen columnes linealment independents d'; de forma equivalent, la dimensió de l'espai de columnes d' és . Sigui una base qualsevol de l'espai de columnes d', i col·loquem-la com a vectors columna, per formar la matriu , de dimensió . Així, qualsevol vector columna d' és una combinació lineal de les columnes de . De forma més precisa, si és una matriu de dimensió , on representa la columna -sima, llavors

on són els coeficients escalars de en termes de la base . Això implica que , on és l'element -sim de .

rang(A) = rang (AT)

[modifica]

Una conseqüència immediata de la factorització de rang és que el rang d' és igual al rang de la seva transposada . Com que les columnes d' són les files d', llavors el rang per columnes d' és igual al seu rang per files.

Factorització de rang per matrius esglaonades per files

[modifica]

A la pràctica, podem construir una factorització de rang de la següent manera: podem calcular , la forma esglaonada per files d'. Llavors obtenim per l'eliminació de les columnes no-pivot d', i obtenim per l'eliminació de les files a 0 de .

Exemple

[modifica]

Considerem la matriu

està en forma esglaonada. Llavors obtenim tot eliminant la tercera columna d', l'única que no és una columna pivot, i obtenim tot eliminant l'última fila de zeros; és a dir:

És senzill comprovar que

Demostració

[modifica]

Sigui una matriu de permutació de dimensió tal que en forma particionada per blocs, on les columnes de són les columnes pivot d'. Tota columna de és una combinació lineal de les columnes de , de tal manera que existeix una matriu tal que , on les columnes de contenen els coeficients d'aquestes combinacions lineals. Per tant, , on és la matriu identitat . Ara veurem que .

La transformació de en la seva forma esglaonada per files és equivalent a multiplicar per l'esquerra per una matriu que és producte de matrius elementals, de tal forma que , on . Ara podem escriure , la qual cosa ens permet identificar que , és a dir, les files no-nul·les de la forma esglaonada, amb la mateixa permutació de columnes que havíem obtingut per . Així tenim que , i com que és invertible, això implica que , cosa que completa la demostració.

Bibliografia

[modifica]
  • Lay, David C. Linear algebra and its applications (en anglès). 3rd ed.. Boston; Montréal: Addison-Wesley, 2003. ISBN 978-0-201-70970-4. 
  • Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. Matrix computations (en anglès). 3. ed.. Baltimore, Md. [u.a.]: Johns Hopkins Univ. Press, 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9. 
  • Stewart, Gilbert W. Matrix Algorithms I. Basic decompositions (en anglès). Philadelphia: Soc. for Industrial and Applied Mathematics, 1998. ISBN 978-0-89871-414-2.