Funció eta de Dirichlet

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Funció eta de Dirichlet  \eta (s) al pla complex. El color en un punt  s codifica el valor de  \eta (s) . Colors forts denoten valors pròxims a zero i el to codifica el valor del argument.

En matemàtiques la funció eta de Dirichlet es defineix com

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)

on ζ és la funció zeta de Riemann. Malgrat tot, també pot ser usada per definir la funció zeta. Té una expressió a la sèrie de Dirichlet, vàlida per a tot nombre complex s amb part real positiva, donat per

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}.

Si bé aquesta és convergent només per s amb part real positiva és sumable Abel per tot nombre complex, que permet definir la funció eta com una funció completa, i motra que la funció zeta és meromòrfica amb un pol simple a s = 1.

En forma equivalent es pot definir

\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^s}{\exp(x)+1}\frac{dx}{x}

a la regió de part real positiva.

Bibliografia[modifica | modifica el codi]