Funció signe

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la funció signe és la funció que assigna a cada nombre real el seu signe (+1, -1 o 0). és una funció matemàtica especial, una funció definida a trossos, que obté el signe de qualsevol nombre real que es prengui com entrada. Es representa generalment mitjançant sgn ( x ), i no s'ha de confondre amb la funció sinus (sin ( x ) o bé sinus ( x ))

Definició[modifica | modifica el codi]

Funció signe representada en un pla cartesià.

La funció signe pot definir-se de les següents maneres:

1. On el seu domini de definició és R i el seu conjunt imatge {-1, 0, 1}.


   \begin{array}{rccl}
      \sgn : & \R & \to & \{-1,0,1\} \\
           & x & \to & y = \sgn(x)
   \end{array}

representada així:

\sgn (x) = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x > 0 \\ 0, & \mbox{si }x = 0 \\ -1, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right.

2. Com la derivada de la funció valor absolut. El seu domini de definició és R-{0} i el seu conjunt imatge {-1, 1}

\sgn (x) = \dfrac {d|x|} {dx} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x > 0 \\ -1, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right.

3. sgn(x) = 2u(x) - 1 on u és la funció esglaó unitari o Heaviside Step definida de la següent manera:

u(x) = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x > 0 \\ \frac {1} {2}, & \mbox{si }x = 0 \\ 0, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right.

Propietats[modifica | modifica el codi]

 \sgn(-x) = -\sgn(x)
 x = \sgn (x) \cdot|x|\, \qquad x \in \mathbb{R}
{d|x|\over dx}= \sgn (x) \qquad x \neq 0 \,.
  • La funció signe és derivable amb derivada 0 per tot el seu domini excepte en el valor 0. No és derivable en 0 en el sentit ordinari de derivada, però sota una noció més general de derivada dins de la teoria de distribucions, la derivada de la funció signe és dues vegades la funció delta de Dirac.
{d \ \sgn (x) \over dx}= 2 \delta (x) \,.
  • Per  k \gg 0 , una aproximació de la funció signe és:

\ \sgn x \approx \tanh(kx), \qquad \lim_{k\to \infty} \tanh(kx) = \sgn(x)

Òbviament la convergència en aquest últim cas no és uniforme, és només puntual.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]