Funció signe

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la funció signe és la funció que assigna a cada nombre real el seu signe (+1, -1 o 0). És una funció definida a trossos, que obté el signe de qualsevol nombre real que es prengui com entrada. Es representa generalment mitjançant , i no s'ha de confondre amb la funció sinus o la funció sinus hiperbòlic o .

Definicions[modifica | modifica el codi]

Funció signe representada en un pla cartesià.

La funció signe té com a domini de definició (el conjuint dels nombres reals) i com a imatge el conjunt .

A partir d'aquí, i per tal d'obtenir la funció signe, trobem entre les definicions possibles les següents.

Definició directa[modifica | modifica el codi]

La definició més usual és per trossos:[1]

A partir de la funció valor absolut[modifica | modifica el codi]

Com a derivada[modifica | modifica el codi]

Sigui la funció valor absolut sobre (que recordem està definida sobre i no pas sobre ) i sigui la seva derivada. Aleshores podem definir

Com a quocient[modifica | modifica el codi]

Sigui la funció valor absolut sobre (que recordem està definida sobre i no pas sobre ). Aleshores podem definir[1]

A partir de la funció esglaó unitari[modifica | modifica el codi]

Sigui la funció esglaó de Heaviside o funció esglaó unitari (coneguda en anglès com Heaviside Step) que pren els valors

Aleshores, podem definir[1]

Amb claudàtors d'Iverson[modifica | modifica el codi]

Una definició senzilla de la funció signe a partir de claudàtors d'Iverson és .

A partir de les funcions de part entera i de valor absolut[modifica | modifica el codi]

Fent servir la funció de part entera de , i la funció valor absolut de , , podem definir

.

Propietats[modifica | modifica el codi]

La funció signe no és contínua a x = 0.
  • Tot nombre real es pot expressar com a producte del seu valor absolut i la funció signe avaluada en , és a dir:
  • La funció signe és la derivada de la funció valor absolut en , és a dir
on és l'esmentada funcìó delta de Dirac.
  • La funció signe és el límit de la següent successió de funcions
on és la funció tangent hiperbòlica de . Per tant, podem expressar
Òbviament la convergència en aquest últim cas no és uniforme, és només puntual.
  • La funció tendeix a la funció signe de quan tendeix a zero. És a dir:
.
  • La funicó signe és també el producte de l'arrel quadrada de tot nombre real diferent de zero per l'arrel quadrada del seu invers,[1] és a dir:

Generalitzacions a [modifica | modifica el codi]

Generalització de la funció signe a . A la imatge es pot apreciar que coincideix amb el punt del cercle unitat del pla complex més proper a .

La funció signe se sol generalitzar al conjunt dels nombres complexos com a:[1]

D'aquesta manera, per tot , el signe d'un nombre complex és el punt del cercle unitat del pla complex més proper a . Per tant, tenim que

on és la funció argument complex.

La tria de en la generalització pels nombres complexos es basa fonamentalment en dotar la funció de coherència amb la seva versió sobre els nombres reals. De no fer-ho, Rich i Jeffrey proposen interpretar com un punt no especificat del cercle unitat del pla complex.[3]

Una altra generalització de la funció signe a és la funció per que es defineix com:[4]

on és la part real de i és la part imaginària de .

Amb aquesta definició tenim les següents propietats:

  • Coincidència amb la funció signe sobre els reals, és a dir:
  • .

Distribució signe[modifica | modifica el codi]

En el context de les funcions generalitzades o distribucions, es pot definir la distribució signe tal que , per tant també en (a diferència del que passa amb la funció signe, que pren valor ). La construcció d'aquesta funció signe generalitzada permet la construcció d'una àlgebra de funcions generalitzades, però a costa de perdre la commutativitat. En particular, la funció sigma generalitzada anticommuta amb la funció delta de Dirac:[5]

.

Una altra contrapartida és que no pot avaluar-se en mentre que la funció signe sí, amb .

Referències[modifica | modifica el codi]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 Weisstein, Eric W., «Funció signe» a MathWorld (en anglès).
  2. Bracewell, Ronald N. «The Sign Function, sgnx.». A: The Fourier Transform and Its Applications. 3ra edició (en anglès). Nova York: McGraw-Hill, 1999, pàgs. 61-62. 
  3. Rich, A.; Jeffrey, D. «Function Evaluation on Branch Cuts» (en anglès). SIGSAM Bull., No. 116, 25-27, juny 1996.
  4. Maple V documentation (en anglès), 21 de maig de 1998. 
  5. Shirokov, Yuri Mijailovich «Algebra of one-dimensional generalized functions» (en anglès). TMF, 39, 1979, pàgs. 471–477. DOI: 10.1007/BF01017992.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]