Funció signe

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la funció signe és la funció que assigna a cada nombre real el seu signe (+1, -1 o 0). Es representa mitjançant una notació com ara sgn(x).

Definició[modifica | modifica el codi]

Funció signe representada en un pla cartesià.

La funció signe pot definir-se de les següents maneres:

1. On el seu domini de definició és R i el seu conjunt imatge {-1, 0, 1}.

\sgn (x) = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x > 0 \\ 0, & \mbox{si }x = 0 \\ -1, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right.

2. Com que la derivada de la funció valor absolut. El seu domini de definició és R-{0} i el seu conjunt imatge {-1, 1}

\sgn (x) = \dfrac {d|x|} {dx} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x > 0 \\ -1, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right.

3. sgn(x) = 2u(x) - 1 on u és la funció esglaó unitari o Heaviside Step definida de la següent manera:

u(x) = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x > 0 \\ \frac {1} {2}, & \mbox{si }x = 0 \\ 0, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right.

Propietats[modifica | modifica el codi]

 \sgn(-x) = -\sgn(x)
 X = \sgn (x) \cdot|x|\, \qquad x \in \mathbb{R}
{d|x|\over dx}= \sgn (x) \,.
  • La funció signe és derivable amb derivada 0 per tot el seu domini excepte en 0. No és derivable en 0 en el sentit ordinari de derivada, però sota una noció més general de derivada dins de la teoria de distribucions, la derivada de la funció signe és dues vegades la funció delta de Dirac.
{d \ \sgn (x) \over dx}= 2 \delta (x) \,.
  • Per  k \gg 0 , una aproximació suau de la funció signe és:
 \ \sgn x \approx \tanh (kx) \,.

Vegeu també[modifica | modifica el codi]