En matemàtiques, existeixen moltes identitats logarítmiques.
Els logaritmes s'utilitzen normalment per simplificar les operacions. Per exemple, els logaritmes ens permeten resoldre un càlcul que inclou multiplicacions simplement amb sumes.
![{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c4357f1cdd9ab6b88f9a51c4d18e8c5197ddc1b) |
donat que |
|
![{\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c5de40724bd183844957d4c17c7812831006b7c) |
donat que |
|
![{\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6485980ba2ed99b52c491c5e5cbbb19f3e4688) |
donat que |
|
![{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa4327beb2984c4f0548bee011606d7588db706) |
donat que |
|
![{\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad24d1cecc76619184d3d3912d4e0368c1e09516) |
donat que |
|
On
,
i
nombres reals positius i
.
Les següents sumes/restes són especialment útils en teoria de probabilitats quan es tracta d'una suma/resta de probabilitats logarítmiques:
|
|
En particular:
|
|
![{\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d722057c172d6205d8fa4f9639ba59195dcd4fa) |
donat que |
|
![{\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60ea1710fc1dd65eb503ff34f4e60ed931867574) |
donat que |
|
Fixem-nos que
no existeix perquè no hi ha cap nombre
tal que
. De fet, hi ha una asímptota vertical al gràfic de la funció
quan
.
Els logaritmes i exponencials (antilogaritmes) amb la mateixa base es cancel·len. Això és degut al fet que els logaritmes i els exponencials són operacions inverses (tal com passa amb la multiplicació i la divisió).
![{\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/279efc9f676f2d56705091a6a06484d0ed2e05db) |
donat que |
|
![{\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c621245b883b70f51ff84cd7dcbf71f42717743) |
donat que |
|
![{\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14fb3ff79634a5303ca921f4f9bf2cd6fbae1b43)
Aquesta relació és necessària per trobar els valor d'un logaritme amb una calculadora. Per exemple, la majoria de calculadores tenen els botons ln i log10, però no log₂. Per trobar log₂(3), hem de calcular log10(3) / log10(2) (o ln(3)/ln(2), que té el mateix resultat).
- Tenim
.
- I per tant
.
- Si agafem
als dos membres: ![{\displaystyle \log _{c}a^{y}=\log _{c}b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a76004ff790e2ef27525eec8eee80d06b23aa8)
- Simplificant i resolent:
![{\displaystyle y\log _{c}a=\log _{c}b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd1f9f0e6dbca254f48c340df8c211aaf81be3e)
![{\displaystyle y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/270399e3c824f828cd23adfd34d40909525890fe)
- Donat que
, llavors ![{\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0716d67f06ddb7d785aa49dadc31104919dbd9)
Aquesta fórmula té unes quantes conseqüències:
![{\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15dbdb202a6378003932e79acd2bb1445ab79b78)
![{\displaystyle \log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/292957e57ad67be57d36bbc5fb7386a92077a775)
![{\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f5410f566d0437fa4e94f46fe96659a4676013)
![{\displaystyle -\log _{a}b=\log _{a}\left({1 \over b}\right)=\log _{1 \over a}b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f780b48ba422b147729c31c728986fa40698e6df)
![{\displaystyle \log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fb74682909ae14b3dd606a5533a3709cfde47b)
On
és qualsevol permutació de les bases 1, ..., n. Per exemple
![{\displaystyle \log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2664995bae541a524f05c39e7463e78c26f18c92)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/280b4964fd706b5578ebb38c62f62c1307d19182)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aa7f71f4a54c2fcdaf6441bac4e142f12b28f4e)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb8b9495dde6ea94ac66e8239207b610d92cd41)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7463a096d364f70d946533f736532a84ef610821)
![{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba195e3df473541352d62701ffdc4df98b6bd816)
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41894b8cf122d7336bcda5352973c934faef04e0)
L'últim límit es resumeix dient que els logaritmes creixen més lentament que qualsevol potència o arrel de x.
![{\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}={1 \over x\ln e},\qquad x>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666198eb8843a6ac91840e2987f806463892ed82)
![{\displaystyle {d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf4e4d2a50946aa9d4c1a67072f0b24f5bc7249)
![{\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e72c70a86d7ec8c9b4353058bda339ff8598c7)
![{\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3e9d4b89241e2696ab222e6e33cb73c928a62af)
Per recordar integrals més grans, és necessari definir:
![{\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be26aeae0c7b88d50e760d2ce40df2af4c44b0bb)
On
és l'n-èsim nombre harmònic. Per exemple:
![{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078fe3653cf35a30aea1b7f03ea554ae7670b967)
![{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12b6bda581e741822ed456b8e7c42955525db0)
![{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c21bdba06d346a4ba6099ffecd4612135f157a)
![{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1dd85612d205f8fab7b2af8590f297eec9c209a)
Llavors,
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1466307fb829dca298b9bfcce3e58bd33c52d8a)
![{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92036b7056a0179b00f4d6739640046d2e8553ba)