Identitats logarítmiques

En matemàtiques, existeixen moltes identitats logarítmiques.

Identitats algebraiques

Amb operacions simples

Els logaritmes s'utilitzen normalment per simplificar les operacions. Per exemple, els logaritmes ens permeten resoldre un càlcul que inclou multiplicacions simplement amb sumes.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$	donat que	$b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}\!\,$$b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}\!\,$
$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	donat que	${\begin{matrix}{\frac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}$${\begin{matrix}{\frac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}$
$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$	donat que	$(b^{x})^{y}=b^{xy}\!\,$$(b^{x})^{y}=b^{xy}\!\,$
$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$	donat que	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$
$x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}\!\,$$x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}\!\,$	donat que	$x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(y)\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}\!\,$$x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(y)\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}\!\,$

On $b$$b$, $x$$x$ i $y$$y$ nombres reals positius i $b\neq 1$$b\neq 1$.

Sumes/Restes

Les següents sumes/restes són especialment útils en teoria de probabilitats quan es tracta d'una suma/resta de probabilitats logarítmiques:

$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+b^{\log _{b}c-\log _{b}a})$$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+b^{\log _{b}c-\log _{b}a})$

$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-b^{\log _{b}c-\log _{b}a})$$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-b^{\log _{b}c-\log _{b}a})$

En particular:

$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)$$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)$

$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)$$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)$

Identitats trivials

$\log _{b}(1)=0\!\,$$\log _{b}(1)=0\!\,$	donat que	$b^{0}=1\!\,$$b^{0}=1\!\,$
$\log _{b}(b)=1\!\,$$\log _{b}(b)=1\!\,$	donat que	$b^{1}=b\!\,$$b^{1}=b\!\,$

Fixem-nos que $\log _{b}(0)\!\,$$\log _{b}(0)\!\,$ no existeix perquè no hi ha cap nombre $x\!\,$$x\!\,$ tal que $b^{x}=0\!\,$$b^{x}=0\!\,$. De fet, hi ha una asímptota vertical al gràfic de la funció $f(x)=\log _{b}(x)\!\,$$f(x)=\log _{b}(x)\!\,$ quan $x=0\!\,$$x=0\!\,$.

Cancelant exponencials

Els logaritmes i exponencials (antilogaritmes) amb la mateixa base es cancel·len. Això és degut al fet que els logaritmes i els exponencials són operacions inverses (tal com passa amb la multiplicació i la divisió).

$b^{\log _{b}(x)}=x$$b^{\log _{b}(x)}=x$	donat que	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$
$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$	donat que	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$

Canvi de base

$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Aquesta relació és necessària per trobar els valor d'un logaritme amb una calculadora. Per exemple, la majoria de calculadores tenen els botons ln i log₁₀, però no log₂. Per trobar log₂(3), hem de calcular log₁₀(3) / log₁₀(2) (o ln(3)/ln(2), que té el mateix resultat).

Demostració

Tenim $y=\log _{a}b\,$$y=\log _{a}b\,$.

I per tant $a^{y}=b\,$$a^{y}=b\,$.

Si agafem $\log _{c}\,$$\log _{c}\,$ als dos membres: $\log _{c}a^{y}=\log _{c}b\,$$\log _{c}a^{y}=\log _{c}b\,$

Simplificant i resolent: $y\log _{c}a=\log _{c}b\,$$y\log _{c}a=\log _{c}b\,$

$y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$$y={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

Donat que $y=\log _{a}b\,$$y=\log _{a}b\,$, llavors $\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

Conseqüències

Aquesta fórmula té unes quantes conseqüències:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}$$\log _{a^{n}}b={{\log _{a}b} \over n}$

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

$-\log _{a}b=\log _{a}\left({1 \over b}\right)=\log _{1 \over a}b$$-\log _{a}b=\log _{a}\left({1 \over b}\right)=\log _{1 \over a}b$

$\log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,$$\log _{a_{1}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{n}}b_{n}=\log _{a_{\pi (1)}}b_{1}\,\cdots \,\log _{a_{\pi (n)}}b_{n},\,$

On $\scriptstyle \pi \,$$\scriptstyle \pi \,$ és qualsevol permutació de les bases 1, ..., n. Per exemple

$\log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,$$\log _{a}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{c}y\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{b}y\cdot \log _{c}z.\,$

Identitats de càlcul

Límit

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a>1$$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a<1$$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a>1$$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{si }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a<1$$\lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{si }}a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$

$\lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$$\lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$

L'últim límit es resumeix dient que els logaritmes creixen més lentament que qualsevol potència o arrel de x.

Derivada de funcions logarítmiques

${d \over dx}\ln x={1 \over x}={1 \over x\ln e},\qquad x>0$${d \over dx}\ln x={1 \over x}={1 \over x\ln e},\qquad x>0$

${d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1$${d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1$

Definició a partir d'integral

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

Integrals de funcions logarítmiques

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

Per recordar integrals més grans, és necessari definir:

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

On $H_{n}$$H_{n}$ és l'n-èssim nombre harmònic. Per exemple:

$x^{\left[0\right]}=\log x$$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$

Llavors,

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$