Identitats logarítmiques

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, existeixen moltes identitats logarítmiques.

Identitats algebraiques[modifica | modifica el codi]

Amb operacions simples[modifica | modifica el codi]

Els logaritmes s'utilitzen normalment per simplificar les operacions. Per exemple, els logaritmes ens permeten resoldre un càlcul que inclou multiplicacions simplement amb sumes.

donat que
donat que
donat que
donat que
donat que

On , i nombres reals positius i .

Sumes/Restes[modifica | modifica el codi]

Les següents sumes/restes són especialment útils en teoria de probabilitats quan es tracta d'una suma/resta de probabilitats logarítmiques:

En particular:

Identitats trivials[modifica | modifica el codi]

donat que
donat que

Fixem-nos que no existeix perquè no hi ha cap nombre tal que . De fet, hi ha una asímptota vertical al gràfic de la funció quan .

Cancelant exponencials[modifica | modifica el codi]

Els logaritmes i exponencials (antilogaritmes) amb la mateixa base es cancel·len. Això és degut al fet que els logaritmes i els exponencials són operacions inverses (tal com passa amb la multiplicació i la divisió).

donat que
donat que

Canvi de base[modifica | modifica el codi]

Aquesta relació és necessària per trobar els valor d'un logaritme amb una calculadora. Per exemple, la majoria de calculadores tenen els botons ln i log10, però no log2. Per trobar log2(3), hem de calcular log10(3) / log10(2) (o ln(3)/ln(2), que té el mateix resultat).

Demostració[modifica | modifica el codi]

Tenim .
I per tant .
Si agafem als dos membres:
Simplificant i resolent:
Donat que , llavors

Conseqüències[modifica | modifica el codi]

Aquesta fórmula té unes quantes conseqüències:


On és qualsevol permutació de les bases 1, ..., n. Per exemple

Identitats de càlcul[modifica | modifica el codi]

Límit[modifica | modifica el codi]

L'últim límit es resumeix dient que els logaritmes creixen més lentament que qualsevol potència o arrel de x.

Derivada de funcions logarítmiques[modifica | modifica el codi]

Definició a partir d'integral[modifica | modifica el codi]

Integrals de funcions logarítmiques[modifica | modifica el codi]

Per recordar integrals més grans, és necessari definir:

On és l'n-èssim nombre harmònic. Per exemple:

Llavors,