En matemàtiques, existeixen moltes identitats logarítmiques.
Els logaritmes s'utilitzen normalment per simplificar les operacions. Per exemple, els logaritmes ens permeten resoldre un càlcul que inclou multiplicacions simplement amb sumes.
 |
donat que |
|
 |
donat que |
|
 |
donat que |
|
![{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa4327beb2984c4f0548bee011606d7588db706) |
donat que |
|
 |
donat que |
|
On
,
i
nombres reals positius i
.
Les següents sumes/restes són especialment útils en teoria de probabilitats quan es tracta d'una suma/resta de probabilitats logarítmiques:
|
|
En particular:
|
|
 |
donat que |
|
 |
donat que |
|
Fixem-nos que
no existeix perquè no hi ha cap nombre
tal que
. De fet, hi ha una asímptota vertical al gràfic de la funció
quan
.
Els logaritmes i exponencials (antilogaritmes) amb la mateixa base es cancel·len. Això és degut al fet que els logaritmes i els exponencials són operacions inverses (tal com passa amb la multiplicació i la divisió).
 |
donat que |
|
 |
donat que |
|

Aquesta relació és necessària per trobar els valor d'un logaritme amb una calculadora. Per exemple, la majoria de calculadores tenen els botons ln i log10, però no log₂. Per trobar log₂(3), hem de calcular log10(3) / log10(2) (o ln(3)/ln(2), que té el mateix resultat).
- Tenim
.
- I per tant
.
- Si agafem
als dos membres: 
- Simplificant i resolent:


- Donat que
, llavors 
Aquesta fórmula té unes quantes conseqüències:





On
és qualsevol permutació de les bases 1, ..., n. Per exemple







L'últim límit es resumeix dient que els logaritmes creixen més lentament que qualsevol potència o arrel de x.




Per recordar integrals més grans, és necessari definir:
![{\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be26aeae0c7b88d50e760d2ce40df2af4c44b0bb)
On
és l'n-èsim nombre harmònic. Per exemple:
![{\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/078fe3653cf35a30aea1b7f03ea554ae7670b967)
![{\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12b6bda581e741822ed456b8e7c42955525db0)
![{\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c21bdba06d346a4ba6099ffecd4612135f157a)
![{\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1dd85612d205f8fab7b2af8590f297eec9c209a)
Llavors,
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1466307fb829dca298b9bfcce3e58bd33c52d8a)
![{\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92036b7056a0179b00f4d6739640046d2e8553ba)