Integració per substitució trigonomètrica

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca

En matemàtiques, la substitució trigonomètrica és la substitució d'altres expressions per expressions trigonomètriques. Es poden fer servir les identitats trigonomètriques per simplificar integrals que contenen expressions radicals:

En l'expressió a² − x², la substitució de a sin(θ) per x fa possible d'emprar la identitat 1 − sin²θ = cos²θ.

En l'expressió a² + x², la substitució de a tan(θ) per x fa possible de fer servir la identitat tan²θ + 1 = sec²θ.

De manera similar, en x² − a², la substitució de a sec(θ) per x fa possible utilitzar la identitat sec²θ − 1 = tan²θ.

Exemples[modifica]

Integrals que contenen a² − x²[modifica]

A la integral

Es pot emprar

Així la integral esdevé

(Fixeu-vos que el pas anterior requereix que sigui a > 0 i cos(θ) > 0; es pot triar que a sigui l'arrel quadrada positiva de a²; i imposar la restricció a θ de ser −π/2 < θ < π/2 a base d'usar la funció arcsin().)

Per a una integral definida, cal analitzar com canvien els límits d'integració. Per exemple, si x va de 0 a a/2, llavors sin(θ) va de 0 a 1/2, per tant θ va de 0 a π/6. Llavors es té

(Aneu amb compte al triar els límits. La integració de la secció anterior requereix que −π/2 < θ < π/2, per tant, l'única possibilitat és que θ vagi de 0 a π/6. Si es descuidés aquesta restricció, es podria haver triat que θ anés de π a 5π/6, lo qual hauria donat un resultat negatiu.)

Integrals que contenen a² + x²[modifica]

A la integral

es pot escriure

així la integral esdevé

(donat que a > 0).

Integrals que contenen x² − a²[modifica]

integrals com

S'haurien de resoldre amb els mètodes de integració de funcions racionals en comptes de provar de resoldre-les per substitucions trigonomètriques.

La integral

Es pot resoldre per substitució

Això inclourà la integral de la secant al cub.

Substitucions que eliminen funcions trigonomètriques[modifica]

La substitució es pot fer servir per eliminar funcions trigonomètriques. Per exemple,

(però cal anar amb compte amb els signes)

Vegeu també[modifica]