Integració per substitució trigonomètrica

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca

En matemàtiques, la substitució trigonomètrica és la substitució d'altres expressions per expressions trigonomètriques. Es poden fer servir les identitats trigonomètriques per simplificar integrals que contenen expressions radicals:

En l'expressió a2x2, la substitució de a sin(θ) per x fa possible d'emprar la identitat 1 − sin2θ = cos2θ.

En l'expressió a2 + x2, la substitució de a tan(θ) per x fa possible de fer servir la identitat tan2θ + 1 = sec2θ.

De forma similar, en x2a2, la substitució de a sec(θ) per x fa possible utilitzar la identitat sec2θ − 1 = tan2θ.

Exemples[modifica | modifica el codi]

Integrals que contenen a2x2[modifica | modifica el codi]

A la integral

Es pot emprar

Així la integral esdevé

(Fixeu-vos que el pas anterior requereix que sigui a > 0 i cos(θ) > 0; es pot triar que a sigui l'arrel quadrada positiva de a2; i imposar la restricció a θ de ser −π/2 < θ < π/2 a base d'usar la funció arcsin().)

Per a una integral definida, cal analitzar com canvien els límits d'integració. Per exemple, si x va de 0 a a/2, llavors sin(θ) va de 0 a 1/2, per tant θ va de 0 a π/6. Llavors es té

(Aneu amb compte al triar els límits. La integració de la secció anterior requereix que −π/2 < θ < π/2, per tant, l'única possibilitat és que θ vagi de 0 a π/6. Si es descuidés aquesta restricció, es podria haver triat que θ anés de π a 5π/6, lo qual hauria donat un resultat negatiu.)

Integrals que contenen a2 + x2[modifica | modifica el codi]

A la integral

es pot escriure

així la integral esdevé

(donat que a > 0).

Integrals que contenen x2a2[modifica | modifica el codi]

integrals com

S'haurien de resoldre amb els mètodes de integració de funcions racionals en comptes de provar de resoldre-les per substitucions trigonomètriques.

La integral

Es pot resoldre per substitució

Això inclourà la integral de la secant al cub.

Substitucions que eliminen funcions trigonomètriques[modifica | modifica el codi]

La substitució es pot fer servir per eliminar funcions trigonomètriques. Per exemple,

(però cal anar amb compte amb els signes)

Vegeu també[modifica | modifica el codi]