Isomorfisme musical

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

A matemàtiques, el isomorfisme musical és un isomorfisme entre el fibrat tangent i el fibrat cotangent d'una varietat riemanniana, que ve induït per la seva mètrica.

Introducció[modifica]

Una mètrica g en una varietat riemanniana M és un camp tensorial que és simètric, no degenerat i definit positiu. En fixar un dels dos paràmetres com un vector , s'obté un isomorfisme de espais vectorials:

definit per:

és a dir,

Globalment,

és un difeomorfisme.

Motivació per al nom[modifica]

L'isomorfisme i la seva inversa s'anomenen isomorfismes musicals perquè pugen i baixen els índexs dels vectors. Per exemple, un vector de TM s'escriu com i un covector com , així que l'índex i puja i baixa en de la mateixa manera que els símbols sostingut () i bemoll () pugen i baixen un semitò.

Gradient[modifica]

Els isomorfismes musicals es poden utilitzar per definir el gradient d'una funció diferenciable sobre una varietat riemanniana M com a:

Vegeu també[modifica]