Kappa (corba)

De Viquipèdia
Dreceres ràpides: navegació, cerca
La corba de kappa té dues asímptotes verticals.

En geometria, la corba kappa o la corba de Gutschoven és una corba algebraica bidimensional que s'assembla a la lletra grega κ (kappa).

Fent ser vir el Sistema de coordenades cartesianes es pot expressar com:

y^2(x^2 + y^2)=a^2x^2

o, fent servir equacions paramètriques:


\begin{matrix}
x&=&a\cos t\,\cot t\\
y&=&a\cos t
\end{matrix}

En coordenades polars la seva equació és fins i tot més simple:

r=a\tan\theta

Té dues asímptotes verticals a x=\pm a, que es mostren com rectes blaves a traços a la figura de la dreta.

La curvatura de la corba kappa és:

\kappa(\theta)={8\left(3-\sin^2\theta\right)\sin^4\theta\over a\left[\sin^2(2\theta)+4\right]^{3\over2}}

L'angle tangent:

\phi(\theta)=-\arctan\left[{1\over2}\sin(2\theta)\right]

La corba de kappa va ser estudiada per primera vegada per Gérard van Gutschoven al voltant de 1662. Altres matemàtics famosos que l'han estudiat inclouen Isaac Newton i Johann Bernoulli.

Les seves tangents varen ser calculades per primera vegada per Isaac Barrow al segle XVII.

Derivada[modifica | modifica el codi]

Emprant diferenciació implícita, és possible trobar que la derivada de la corba kappa és:

2y \frac{dy}{dx}(x^2 + y^2) + y^2(2x + 2y \frac{dy}{dx}) = 2a^2x
\frac{dy}{dx}(2yx^2 + 4y^3) + 2xy^2 = 2a^2x
\frac{dy}{dx} = \frac{x(a^2 - y^2)}{y(x^2 + 2y^2)}

Enllaços externs[modifica | modifica el codi]