Lleis de De Morgan

De Viquipèdia
Salta a la navegació Salta a la cerca
Representació gràfica de les lleis de De Morgan

Les lleis de De Morgan són una part de la Lògica proposicional i analítica, i va ser creada per Augustus De Morgan (Madurai, 1806 - Londres, 1871).[1]

Història[modifica]

Les lleis porten el nom d’Augustus De Morgan (1806–1871),[2] que va introduir una versió formal de les lleis a la lògica proposicional clàssica. La formulació de De Morgan va estar influenciada per l’algebraització de la lògica empresa per George Boole, que posteriorment va consolidar la pretensió de De Morgan a la troballa. Tot i això, Aristòtil va fer una observació similar, que era coneguda pels lògics grecs i medievals. Per exemple, al segle XIV, Guillem d'Ockham va escriure les paraules que resultarien llegint les lleis.[3] Jean Buridan, a la seva Summulae de Dialectica, també descriu les regles de conversió que segueixen les línies de les lleis de De Morgan.[4] Tot i així, a De Morgan se li dona el mèrit d’enunciar les lleis en els termes de la lògica formal moderna i d’incorporar-les al llenguatge de la lògica. Les lleis de De Morgan es poden demostrar fàcilment i fins i tot poden semblar trivials.[5] Tanmateix, aquestes lleis són útils per fer inferències vàlides en proves i arguments deductius.

Les lleis de De Morgan[modifica]

Les lleis de De Morgan declaren que la suma de n variables globalment negades (o invertides) és igual al producte de les n variables negades individualment, i que inversament, el producte de n variables globalment negades és igual a la suma de les n variables negades individualment.[6]

Prova[modifica]

Cal utilitzar les taules de valors de veritat, [7]

V V V F F F F
V F V F F V F
F V V F V F F
F F F V V V V

Demostració formal[modifica]

si i només si i .

per a qualsevol x:[7]

inclusió:

o

o

Per tant

inclusió:

o

o

Per tant


i per tant Q.E.D.


per es pot utilitzar un mètode similar.

Amb proposicions[modifica]

La prova utilitza l'associativitat i la distributivitat de les lleis i .[8]

  • Veritat
  • Si veritat per n

Referències[modifica]

  1. Hurley, Patrick J. (2015), A Concise Introduction to Logic (12th ed.), Cengage Learning, ISBN 978-1-285-19654-1
  2. DeMorgan’s Theorems at mtsu.edu
  3. William of Ockham, Summa Logicae, part II, sections 32 and 33.
  4. Jean Buridan, Summula de Dialectica. Trans. Gyula Klima. New Haven: Yale University Press, 2001. See especially Treatise 1, Chapter 7, Section 5. ISBN 0-300-08425-0
  5. Augustus De Morgan (1806–1871) Arxivat 2010-07-15 a Wayback Machine. by Robert H. Orr
  6. 2000 Solved Problems in Digital Electronics by S. P. Bali
  7. 7,0 7,1 Hayes, Andy; Wu, Vincent. «De Morgan's Laws». https://brilliant.org/.
  8. Boolean Algebra by R. L. Goodstein. ISBN 0-486-45894-6

Vegeu també[modifica]