Llista de grups petits

De Viquipèdia
Jump to navigation Jump to search

Aquest article mostra una llista matemàtica dels grups finits d'ordre baix (una cardinalitat de fins a 16 elements) classificats per isomorfisme de grups.

Amb aquesta llista es pot determinar a quin grup conegut és isomorf un grup finit G donat: Cerqueu primer l'ordre de G, seguidament cerqueu els candidats per aquell ordre a la llista. Si sabeu si G és o no és abelià potser podreu descartar alguns candidats. Per a distingir entre els candidats restants podeu mirar l'ordre dels elements de G i comparar-los amb els ordres dels elements dels candidats.

Terminologia[modifica]

El signe d'igualtat "=" denota isomorfisme de grups.

La notació G × H indica el producte directe de dos grups; Gn indica el producte directe d'un grup amb ell mateix n vegades. vol dir el producte semidirecte on H actua sobre G; si l'acció particular de H sobre G s'omet és que totes les accions no trivials possibles donen el mateix grup producte llevat d'isomorfisme.

S'indiquen els que són grups abelians i els que són grups simples. (Per als grups d'ordre n < 60, els grups simples són exactament els grups cíclics Cn, per a n primer).

L'element neutre està representat per un cercle negre als grafs dels cicles. L'ordre més petit per al qual el graf no representa unívocament un grup és ordre 16.

A les llistes de subgrups, el grup trivial i el mateix grup no apareixen indicats. Als casos on hi ha múltiples subgrups isomorfs, el nombre d'aparicions s'indica entre parèntesis.

Llista de grups abelians petits[modifica]

Els grups abelians finits es classifiquen fàcilment: són grups cíclics o els seus productes directes. El teorema xinès del residu ens pot ajudar a trobar els isomorfismes amb aquests productes directes. Els grups abelians finitament generats també es poden classificar. Vegeu més informació a l'article grup abelià.

Ordre Grup Subgrups Propietats Graf dels cicles
1 grup trivial = C1 = S1 = A2 - trivialment té propietats diverses
Graf dels cicles per al grup trivial
2 C2 = S2 = D1 - simple, el grup no trivial més petit
Graf dels cicles per al grup C2
3 C3 = A3 - simple
Graf dels cicles per al grup C3
4 C4 C2   
Graf dels cicles per al grup C4
Grup de Klein = C2 × C2 = D2 C2 (3) el grup no cíclic més petit
Graf dels cicles per al grup de Klein D2
5 C5 - simple
Graf dels cicles per al grup C5
6 C6 = C3 × C2 C3, C2  
Graf dels cicles per al grup C6
7 C7 - simple
Graf dels cicles per al grup C7
8 C8 C4, C2  
Graf dels cicles per al grup C8
C4 × C2 C22, C4 (2), C2 (3)  
Graf dels cicles per al grup C4 × C2
C23 C22 (7), C2 (7)
Graf dels cicles per al grup C2^3
9 C9 C3  
C9
C32 C3 (4)  
Graf dels cicles per al grup C3^2
10 C10 = C5 × C2 C5, C2  
C10
11 C11 - simple
C11
12 C12 = C4 × C3 C6, C4, C3, C2  
C12
C6 × C2 = C3 × C22 C6 (3), C3, C2 (3), C22  
Graf dels cicles per al grup C3 × C2^2
13 C13 - simple
C13
14 C14 = C7 × C2 C7, C2  
C14
15 C15 = C5 × C3 C5, C3  
C15
16 C16 C8, C4, C2  
C16
C24 C2 (15), C22 (35), C23 (15)  
Graf dels cicles per al grup C2^4
C4 × C22 C2 (7), C4 (4), C22 (7), C23, C4 × C2 (6)  
Graf dels cicles per al grup C4 × C2^2
C8 × C2 C2 (3), C4 (2), C22, C8 (2), C4 × C2  
Graf dels cicles per al grup C8 × C2
C42 C2 (3), C4 (6), C22, C4 × C2 (3)  
Graf dels cicles per al grup C4^2

Llista de grups no abelians petits[modifica]

Ordre Grup Subgrups Propietats Graf dels cicles
6 S3 = D3 C3, C2 (3) el grup no abelià més petit
S3
8 D4 C4, C22 (2), C2 (5)
D4
Grup dels quaternions, Q8 = Dic2 C4 (3), C2 el grup hamiltonià més petit
Grup dels quaternions Q8
10 D5 C5, C2 (5)
D5
12 D6 = D3 × C2 C6, D3 (2), C22 (3), C3, C2 (7)
D6
A4 C22, C3 (4), C2 (3) el grup més petit que demostra que un grup no ha de tenir forçosament un subgrup de cada ordre que divideix l'ordre del grup: no té cap subgrup d'ordre 6 (en contra del recíproc al teorema de Lagrange, com ja indiquen els teoremes de Sylow.)
A4
Dic3 = C2, C3, C4 (3), C6
Dic3
14 D7 C7, C2 (7)
D7
16[1] D8 C8, D4 (2), C22 (4), C4, C2 (9)
D8
D4 × C2 D4 (2), C4 × C2, C23 (2), C22 (11), C4 (2), C2 (11)
D4 × C2
Grup generalitzat dels quaternions Q16 = Dic4
Grup generalitzat dels quaternions Dic4
Q8 × C2 grup hamiltonià
Q8 × C2
El grup quasidièdric d'ordre 16
Grup quasidièdric d'ordre 16
El grup d'Iwasawa d'ordre 16
grup d'Iwasawa d'ordre 16
C4 ⋊ C4
El grup generat per les matrius de Pauli
grup generat per les matrius de Pauli
G4,4 =
C2^2 ⋊ C4

Llibreria de grups petits[modifica]

Els sistemes computacionals algebraics de teoria de grups GAP i Magma contenen la «Llibreria de grups petits» que proporciona accés a descripcions de grups d'ordre baix. Es llisten els grups llevat d'isomorfisme. Actualment aquesta llibreria conté els grups següents:[2]

  • Tots els grups d'ordre com a molt 2000, excepte en l'ordre 1024. Són 423.164.062 grups. Els d'ordre 1024 no apareixen: només comptant els 2-grups d'ordre 1024 no isomorfs n'hi ha 49.487.365.422.
  • Els d'un ordre lliure de cubs i com a molt 50.000. Són 395.703 grups.
  • Els d'un ordre lliure de quadrats.
  • Els d'ordre pn per a n fins a 6 i p un nombre primer.
  • Els d'ordre p7 per a p essent 3, 5, 7 o 11. Són 907.489 grups.
  • Els d'ordre qnp on qn divideix 28, 36, 55 o 74 i el nombre p és un primer arbitrari diferent de q.
  • Aquells l'ordre dels quals factoritza en tres primer com a molt.

Conté descripcions explícites dels grups disponibles en format ordinador.

Vegeu també[modifica]

Enllaços externs[modifica]

  • Pedersen, John. «Groups of small order» (en anglès).
  • Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en anglès).
  • Hall, Jr., Marshall; Senior, James K. The Groups of Order 2n (n ≤ 6) (en anglès). Macmillan, 1964. «Un catàleg exhaustiu dels 340 grups amb ordre divisor de 64.» 

Referències[modifica]

  1. Wild, Marcel «The Groups of Order Sixteen Made Easy» (en anglès). American Mathematical Monthly, Gener 2005 [Consulta: 14 febrer 2010].
  2. Besche, Hans Ulrich; Eick, Bettina; O'Brien, Eamonn. «The Small Groups library» (en anglès). [Consulta: 14 febrer 2010].