Mòdul

De Viquipèdia
(S'ha redirigit des de: Mòduls sobre un anell)
Dreceres ràpides: navegació, cerca
Per a altres significats, vegeu «Mòdul (desambiguació)».

Un A-mòdul és una estructura algebraica que involucra un anell A i un grup abelià. Es tracta d'una generalització de l'estructura d'espai vectorial en la qual el cos d'escalars es restringeix a un anell.

A-mòduls per l'esquerra[modifica | modifica el codi]

Sigui un anell i un grup abelià. El grup té estructura de -mòdul per l'esquerra si l'anell opera linealment per l'esquerra sobre els elements de , és a dir, si hi ha una operació externa de sobre :

amb les condicions de linealitat

per a i . Si, a més, l'anell té unitat, es demana que

A-mòduls per la dreta[modifica | modifica el codi]

Si l'operació externa és per la dreta,

amb les corresponents condicions de linealitat:

aleshores es tracta d'un -mòdul per la dreta.

A-mòduls bilàters[modifica | modifica el codi]

Si l'anell és commutatiu, aleshores és possible la identificació , perquè les condicions i ja no són contradictòries. Aleshores té estructura de -mòdul bilàter o, simplement, d'-mòdul. El costum, però, és d'escriure'n les propietats i els càlculs com si es tractés d'un -mòdul per l'esquerra.

Exemples[modifica | modifica el codi]

  • Si és un anell, ell mateix es pot considerar com a -mòdul de manera natural:
  • Els grups commutatius són -mòduls. En efecte, si és un grup commutatiu (notació aditiva) i , l'operació externa de sobre donada per:
dota al grup d'una estructura de -mòdul.
  • Els espais vectorials sobre un cos són -mòduls.
  • Si és l'anell d'endomorfismes d'un -mòdul , l'operació externa
fa que es pugui considerar un -mòdul.
  • Si és un anell i n'és un ideal (per l'esquerra), aleshores el propi , amb l'operació
és un -mòdul (per l'esquerra), perquè, per a tot i tot , el producte pertany a .
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Mòdul Modifica l'enllaç a Wikidata